Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 4 - x - 2 y ) d x   d y

Passo 1

Beleza, galera? O comando aqui até que é simples.

Temos uma integral dupla que nos da o volume de um sólido. O que a gente quer é o esboço dessse sólido.

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 4 - x - 2 y ) d x   d y

E como fazemos isso?

Vamos começar relembrando como usamos uma integral dupla que calcular o volume de um sólido e o que cada termo representa.

Lembra que quando integramos uma função g x , só de uma variável mesmo, a gente encontra a área sobre a curva?

No caso de uma função de duas variáveis f x , y , se a gente integrar, a gente encontra o volume sobre a superfície. E no caso, aí vai ser uma integral dupla e não simples. Então vamos a teoriazinha que você deve levar pra sua prova.

O volume abaixo da superfície f x , y e acima do plano x y , dentro do retângulo R , é dado por:

V = ∬ R f x , y d A = ∬ R f x , y d x   d y

Sendo esse retângulo R aí dado pelos intervalos de integação das variáveis x e y .

Agora vamos pro passo 2, enter isso aí melhorzinho na prática, olhando pra nossa integral.

Passo 2

Então vamos encarar o nosso volume:

V = ∬ R f x , y d x   d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 4 - x - 2 y ) d x   d y

Nosso integrando, moleza:

f x , y = ( 4 - x - 2 y )

Ele vai nos dar a superfícia e limita o nosso sólido superiormente (por cima). No caso, essa é a equação de um plano. Então isso quer dizer, que o nosso sólido vai estar abaixo desse plano.

z = ( 4 - x - 2 y )

Agora a região R , que, como já vimos no passo 1, é dada pelos limites de integração. Ambas as integrais vão de 0 até 1 . Mas lembra que tem uma ordem aí, que depende de quem vem antes no final da integral. No caso temos d x   d y , então a integral de dentro é em x e a de fora em y .

V = ∬ R f x , y d x   d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 4 - x - 2 y ) d x   d y

Sendo assim a região R é:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

E a parte de baixo? Bem, já por definição, nessa fórmula, que nos dá o volume abaixo da superfície, temos que o sólido é delimitado pelo plano x y ou z = 0 .

Passo 3

Agora juntando as informações que encontramos, esse sólido é delimitado:

  • Por cima pelo plano: z = ( 4 - x - 2 y )
  • Por baixo pelo plano: z = 0
  • Lateralmente pelo retângulo: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1

E assim chegamos que nosso sólido é esse bonitão aqui!

É como se a gente pegasse o retângulo R na base e esticasse ele pra cima, como que pra formar um prisma retangular. Mas em vez de chegar numa base paralela, a gente corta ele no nosso plano inclinado ;D

Entendeu tudo? Bora pra próxima.

Resposta

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