Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 15
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Oie, vamos partir para uma bela resolução hoje.
Bom, o exercício pede para acharmos os extremos de sujeita às restrições dadas! O primeiro passo é verificar se esses extremos existem...
Temos a interseção de um plano ) com um cilindro ), que é um conjunto fechado e limitado. Assim, como é contínua, pelo teorema do valor extremo, sabemos que admite extremos absolutos sujeita às restrições!
Agora que sabemos que esses extremos existem, vamos procura-los pelo método dos multiplicadores de Lagrange! As restrições podem ser escritas como
Assim, os candidatos a extremos do problema são dados pela equação:
Veja que teremos que calcular as derivadas parciais das funções, pois os gradientes são dados por:
As derivadas parciais são calculadas derivando em relação a variável que a gente quer, e considerando todas as outras variáveis como constantes.
Após realizarmos os cálculos do gradiente, teremos então um sistema, desse sistema iremos encontrar os valores de em função de e , com isso iremos substituir nas equações das restrições e finalmente iremos encontrar os valores numéricos das variáveis.
Com esses pontos iremos substituir na função, o ponto que nos der o maior valor é o ponto de máxima, e o ponto que nos der o menor valor é o ponto de mínimo.
Passo 2
Os gradientes da nossas funções são dados por:
Assim:
Podemos montar o nosso sistema da seguinte forma, levando em consideração a igualdade desses vetores:
Como , podemos reescrever:
Passo 3
Isolando e :
Agora vamos substituir essas relações na equação :
Para o sinal negativo, obtemos:
Assim,
Analogamente, para o sinal positivo:
Desta forma, os candidatos a extremos são
Passo 4
Calculando o valor da função nesses pontos:
Assim, o primeiro representa o mínimo e o segundo o máximo!