Em cada um dos Problemas 41 e 42, mostre que o ponto é um ponto singular regular. Tente, em cada problema, encontrar soluções da forma . Mostre que (exceto por múltiplos constantes) existe apenas uma solução não nula dessa forma para o Problema 41 e que não existem soluções não nulas dessa forma para o Problema 42. Assim, em nenhum dos casos a solução geral pode ser encontrada desse modo. Isso é típico de equações com pontos singulares.

42.

Para resolver essa questão, é bom ter em mente que um ponto  é um ponto singular de

Se e ou for diferente de zero. Se  é um ponto singular, ele será um ponto singular regular se:

e

são ambos finitos.

Agora, vamos mostrar primeiro que o ponto é um ponto singular. Assim, para a equação diferencial

Temos que:

Assim  é um ponto singular.

Agora, vamos mostrar que também é um ponto singular regular calculando  . Assim temos:

Temos que não é finito, assim  não é um ponto singular regular.

Agora, vamos tentar encontra uma solução na forma de série de potencia. Vamos supor que seja a seguinte série de potencia

e vamos supor que a série converge em algum intervalo . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

Diferenciando mais uma vez, temos:

Agora, vamos substituir os resultados encontrados e na equação diferencial fornecida, assim temos:

Para combinar as três séries, precisamos colocar os termos para dentro do somatório, para isso podemos fazer da seguinte maneira:

Para combinar as três séries, precisamos reescrever elas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral . Assim, mudamos o índice do somatório na terceira série substituindo por e começando a soma em em vez de . Assim temos:

O primeiro somatório está começando de 2 e. Podemos abri-lo da seguinte maneira:

Podemos dizer que:

Ou seja:

Substituindo na equação encontrada no final do passo 5, temos:

Podemos retira o termo do quarto somatório para que todos comecem de 1 para podermos junta-los. Assim temos:

Agora que os somatórios começar do mesmo termo, podemos junta-los da seguinte maneira:

Para que a equação acima seja satisfeita para todo , é preciso que o coeficiente de cada potência de seja nulo. Logo, podemos concluir que:

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para , depois para , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para

Para

Para

Assim, temos que todos os coeficientes são zero.

Portanto, não há uma solução diferente de zero em forma de série de potencia .