Em cada um dos problemas de 44 a 49, use os resultados do Problema 43 para determinar se o ponto no infinito é um ponto ordinário, singular regular ou singular irregular da equação diferencial dada.

44.

y'' + y = 0

Passo 1

Fala galera!!

Queremos determinar se o ponto no infinito é um ponto singular ordinário, singular regular ou singular irregular da equação diferencial

y ' ' + y = 0

Passo 2

Para resolver essa questão, primeiro, precisamos substituir ξ = 1 / x na equação diferencial. Pela solução do exercício 43, sabemos que a equação diferencial substituída está na forma:

P * ξ y ' ' + Q * ξ y ' ' + R * ξ y = 0

Onde

P * ξ = ξ 4 P 1 / ξ

Q * ξ = 2 ξ 3 P 1 / ξ - ξ 2 Q 1 / ξ

R * ξ = R 1 / ξ

Pela equação diferencial fornecida. Temos que P x = 1 , Q x = 0 e R x = 1 . Assim temos:

P * ξ = ξ 4 1 = ξ 4

Q * ξ = 2 ξ 3 1 - ξ 2 0 = 2 ξ 3

R * ξ = 1 = 1

Passo 3

Para que ξ = 0 seja um ponto comum, Q * ξ P * ξ e R * ξ P * ξ devem ser contínuos e ter expansões da série Taylor sobre ξ = 0 :

Q * ξ P * ξ = 2 ξ 3 ξ 4 = 2 ξ

Assim, temos que Q * ξ P * ξ não é continuo no ponto ξ = 0 . Portanto, ξ = 0 ou x = ∞ não é um ponto ordinário.

Passo 4

Para que ξ = 0 seja um ponto singular regular, ξ Q * ξ P * ξ e ξ 2 R * ξ P * ξ devem ter expansões de Taylor sobre ξ = 0 . Isso significa que eles devem atingir um limite finito quando ξ → 0 . Assim temos

lim ξ → 0 ⁡ ξ Q * ξ P * ξ = lim ξ → 0 ⁡ ξ 2 ξ 3 ξ 4 = lim ξ → 0 ⁡ 2 = 2

lim ξ → 0 ⁡ ξ 2 R * ξ P * ξ = lim ξ → 0 ⁡ ξ 2 1 ξ 4 = lim ξ → 0 ⁡ 1 ξ 2 = ∞

Como o limite é infinito, ξ = 0 não é um ponto singular regular. Portanto, é um ponto singular irregular.

Resposta

Não é um ponto ordinário.

É um ponto singular irregular.

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