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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d w / d t como uma função de t, utilizando a regra da cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando diretamente com relação a t. Em seguida, (b) calcule dw/dt no valor dado de t.

w = x z + y z ,         x = cos 2 ⁡ t ,         y = sin 2 ⁡ t ,       z = 1 / t ;       t = 3

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Como diz o Homer “Filho, este aparelhinho vai nos ajudar a escapar dessa fria!”

Vamos considerar a função:

w = x z + y z ,         x = cos 2 ⁡ t ,         y = sin 2 ⁡ t ,       z = 1 t ;       t = 3

  1. Usaremos a seguinte regra da cadeia para funções de uma fórmula de variável independente e três variáveis intermediárias para encontrar a diferenciação da função dada da seguinte maneira

    2. Supondo que w = f x , y , z são diferenciável e x ,   y   e   z são funções diferenciáveis de t , então w é uma função diferenciável de t , então

    d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

    Vamos considerar

    w = x z + y z

    Vamos diferenciar parcialmente w em relação a x ,   y   e   z respectivamente

    Para x:

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x z + y z

    ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x z + ∂ ∂ x y z

    ∂ w ∂ x = 1 z + 0

    ∂ w ∂ x = 1 z

    Para y:

    ∂ w ∂ y = ∂ ∂ y x z + y z

    ∂ w ∂ y = ∂ ∂ y x z + ∂ ∂ y y z

    ∂ w ∂ y = 0 + 1 z

    ∂ w ∂ y = 1 z

    Para z:

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x z + y z

    ∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x z + ∂ ∂ z y z

    ∂ w ∂ z = x ∂ ∂ z 1 z + y ∂ ∂ z 1 z

    ∂ w ∂ x = x - 1 z 2 + y - 1 z 2

    ∂ w ∂ x = - x z 2 - y z 2

    Passo 2

    E, agora, iremos diferenciar as funções x ,   y ,   e   z em relação a t

    d x d t = d d t cos 2 ⁡ t

    = 2 cos ⁡ t d d t cos ⁡ t

    = 2 cos ⁡ t ( - sin ⁡ t )

    d x d t = - 2 sin ⁡ t cos ⁡ t

    d y d t = d d t sin 2 ⁡ t

    = 2 sin ⁡ t d d t sin ⁡ t

    2 sin ⁡ t ( cos ⁡ t )

    d y d t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t

    d z d t = d d t 1 t

    = d d t t - 1

    = - 1 t - 1 - 1

    = - 1 t 2

    Passo 3

    Vamos substituir todos os valores acima na fórmula da regra da cadeia iremos obter

    d w d t = ∂ w ∂ x d x d t + ∂ w ∂ y d y d t + ∂ w ∂ z d z d t

    = 1 z - 2 sin ⁡ t cos ⁡ t + 1 z 2 sin ⁡ t cos ⁡ t + - x z 2 - y z 2 - 1 t 2

    x z 2 + y z 2 1 t 2

    = x + y z 2 1 t 2

    = cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t 1 t 2 1 t 2

    = t 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t 1 t 2

    d w d t = 1

    Passo 4

  2. Para avaliar d w / d t em t = 3

Partindo da parte (a), d w / d t   = 1

d w d t t = 3 = 1

“Eu não estava mentindo! Estava escrevendo ficção com a boca.”

Resposta

  1. 1
  2. 1

Exercícios de Livros Relacionados

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .6. w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ² ,x = s e nt ,y = cos ⁡ t ,z = tan ⁡ t ²
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .2. z = x - y x + 2 y ,x = e π t ,y = e - π t
21-26. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas .21. z = x 4 + x 2 y ,x = s + 2 t - u ,y = s t u 2 ; ∂ z ∂ s ;∂ z ∂ t ;∂ z ∂ u ,q u a n d os = 4 ,t = 2 ,u = 1
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .12. z = tan ⁡ u v ,u = 2 s + 3 t ,v = 3 s - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .8. z = a r c tan ⁡ x 2 + y 2 ,x = s ln ⁡ t ,y = t e s