Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 49
Use simetria para calcular a integral dupla.
Passo 1
Fala, pessoal, tudo certo?
Nessa questão a gente precisa usar simetria pra calcular uma integral...
Então vamos lembrar qual a ideia de simetria em funções:
Uma função é par se . Para funções pares:
para qualquer
Uma função é ímpar se . Para funções ímpares:
para qualquer
Como esses conceitos se aplicam pra funções de uma variável, a gente vai primeiro tentar separa a nossa integral em integrais simples, e depois achar alguma função par ou ímpar, pra nos ajudar a calcular a integral!
Passo 2
A integral que queremos calcular é:
Como , a integral fica:
Agora percebe que a gente consegue separar essa função em uma parte que depende só de e outra que depende só de :
Assim, a gente pode separar em duas integrais simples:
Passo 3
Agora vamos observar essas duas funções:
Função ímpar!
Ou seja, e são funções ímpares! Com isso, a gente conclui que
Voltando pra integral que queremos calcular:
E pronto! A integral vale .