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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 19

19. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.

Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem?

A questão quer o volume do sólido abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 4 . O volume do sólido a gente acha por:

V = ∬ D z   d A  

Mas nota que faltam nossos limites de integração dessa integral, sem isso não conseguimos calculá-la. Os limites de integração do sólido são dados pela região de integração, que no nosso caso é o disco

x 2 + y 2 ≤ 4

O exercício pede para expressarmos nossa integral em coordenadas polares. A relação entre coordenadas polares e retangulares é:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

E:

d A = r   d r   d θ

Então, nosso procedimento deve ser o de encontrar nossos limites de integração e calculamos nossa integral do volume de forma iterada: de dentro para fora como já estamos acostumados.

Vamos lá!

Passo 2

Bom, então vamos começar reescrevendo nossa função z do cone em coordenadas polares. Da equação do cone:

z = x 2 + y 2

Passando para coordenadas polares, temos:

x 2 + y 2 = r 2

Logo,

z = r 2 = r

Encontrando nossos limites de integração, temos que no plano x y o domínio de integração do nosso cone é o disco:

x 2 + y 2 ≤ 4

Então vamos achar os limites para cada variável:

  • r : como r é o raio da circunferência, temos:

    • x 2 + y 2 = 4

    Como temos a equação

    x 2 + y 2 = r 2

    Nosso raio será:

    x 2 + y 2 = 2 2

    Então:

    r = 2

    Como a circunferência está centrada na origem, teremos:

    0 ≤ r ≤ 2

  • Pensando em θ , temos uma circunferência completa, então:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Como temos:

d A = r   d r   d θ

Então nossa integral fica:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ⋅ r   d r   d θ

Passo 3

Vamos enfim resolver nossa integral para encontrarmos o volume:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ⋅ r   d r   d θ

Como temos a integral de um produto, podemos separar num produto de integrais, cada qual com sua respectiva variável de integração:

V = ∫ 0 2 π d θ × ∫ 0 2 r 2 d r

Integrando:

V = θ 0 2 π × r 3 3 0 2

Logo, aplicando os limites de integração:

V = 2 π - 0 × 2 3 3 - 0 3 3

Finalizando, temos:

V = 16 π 3

Resposta

16 π 3

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Represente graficamente o sólido que se encontra entre a superfície z = 2 x y / ( x 2 + 1 ) e o plano z = x + 2 y e é limitada pelos planos x = 0 , x = 2 , y = 0 e y = 4 . Então encontre o volume.
Encontre a área da superfície.A parte do plano 6 x + 4 y + 2 z = 1 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 25 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 2 y + 4 z - x 2 = 5 que cruza acima do triangulo com vértices 0,0 ,2,0 e2,4 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 5 x + 3 y - z + 6 = 0 que está acima do retângulo 1,4 × 2,6 .
Encontre a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que cruza no primeiro octante.