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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 58

Nos exercícios 55 a 58 , encontrar o valor máximo da derivada direcional do campo escalar dado, nos pontos indicados:

f x ,   y = a r c t g y x ; P 0 ( - 1 ,   1 )

Passo 1

Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Então vamos começar o trabalho calculando as derivadas parciais. Como a função é só de x e y , não precisamos nos preocupar com o z .

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y = a r c t g y x

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia:

∂ f ∂ x = 1 1 + y x 2 × - y x 2 = - y x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 1 1 + y x 2 × 1 x = x x 2 + y 2

Assim,

∇ f → = - y x 2 + y 2   i → + x x 2 + y 2 j →

Passo 3

E o valor máximo da derivada direcional vai ser igual ao módulo do gradiente! Vamos substituir o ponto P 0 na expressão e calcular o módulo, e aí acabou.

∇ f → P 0 = ∇ f → - 1 ,   1 = - 1 - 1 2 + 1 2 i → + - 1 - 1 2 + 1 2 j →

∇ f → P 0 = - 1 2 i → - 1 2 j →

O valor do gradiente nesse ponto é:

∇ f → P 0 = - 1 2 2 + - 1 2 2 = 2 4

∇ f → P 0 = 2 2

Esse é o módulo máximo da derivada direcional!

Resposta

2 2

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