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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 67

Um potencial elétrico é dado por V = 10 x 2 + y 2 + z 2 . Determinar o campo elétrico, representando-o graficamente.

Passo 1

O que a gente precisa lembrar é que o campo elétrico se relaciona com o potencial elétrico V pela equação:

E = - g r a d   V

Então o que a gente precisa fazer é só calcular o gradiente da função V e inverter o sinal.

V = 10 x 2 + y 2 + z 2 = 10 x 2 + y 2 + z 2 - 1 2

g r a d   V = ∇ V = ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia:

∂ V ∂ x = - 10 x x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ V ∂ y = - 10 y x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ V ∂ z = - 10 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Então o gradiente é:

g r a d   V = - 10 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , - 10 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , - 10 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

E o vetor intensidade elétrica:

E → = - g r a d   V = 10 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , 10 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , 10 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Prontinho, fechamos!

Resposta

E → = 10 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , 10 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , 10 z x 2 + y 2 + z 2 3 2

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Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )
Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z . a) Determine a taxa de variação do potencial em P ( 3,4 , 5 ) na direção do vetor v