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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 14

Seja F → a forçado exercício anterior. Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição ( 1,0 ) com velocidade v 0 ( 0,2 ) . Sendo F → a única força atuando sobre a partícula . Determine a posição γ t = ( x t , y t ) da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.

Passo 1

O ponto chave da questão é perceber que do campo que encontramos, temos que ele representa nossa aceleração, usando a Lei de Newton ou seja, tomando x , y como sendo as coordenadas da função deslocamento, temos que

x ¨ =   x  

  y ¨ =   y (*)

A questão nos dia que a partícula é abandona na posição 1,1 . Em outras palavras,

  x 0 = 1  

  y 0 = 0

Além disso, tinha velocidade nula, ou seja,

x ˙ 0 = 0

  y ˙ 0 = 2

Estamos só interpretando as informações do problema, ok?

Passo 2

De (*), temos que

x - x ¨ = 0

y ¨ - y = 0

Pela lei de Newton, γ =   ¨ F ( γ t ) Daí,

x = A 1 cos ⁡ t - s e n t + B 1 c o s t + s e n t ,  

y = A 2 cos ⁡ t   + B 2 s e n t  

O que significa que nossa parametrização é da forma

  γ t = γ t = c o s t , 2   s e n t .

A imagem de γ é a elipse x 2 + y 2 2 = 1

Resposta

A imagem de γ é a elipse x 2 + y 2 2 = 1

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