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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.Revisão - Ex. 17

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

Passo 1

Oie, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Veja bem, aqui queremos encontrar as derivadas parciais da função:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

Para encontrarmos a derivada parcial de uma função a gente deriva em relação a variável que a gente quer, mas a gente considera todas as outras variáveis que a gente encontrar pelo caminho como constante.

Veja que para as derivadas parciais as regras de derivação se aplicam normalmente, sendo assim, deveremos utilizar a regra da cadeia aqui.

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ S ∂ u . Considerando v e w constantes, a derivada em u é bem tranquila:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ u = arctan ⁡ ( v w )

Passo 3

Agora considerando u e w constantes teremos ∂ S ∂ v , aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ v = u ⋅ arctan ⁡ ( g v ' ⋅ v w '

Realizando essas derivadas:

∂ S ∂ v = u ⋅ 1 1 - v w 2 . w

Simplificando:

∂ S ∂ v = u w 1 - v 2 w

Passo 4

Por fim, considerando v e u constantes teremos ∂ S ∂ w , e novamente existe a necessidade de se aplicar a regra da cadeia:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ w = u ⋅ arctan ⁡ ( g w ' ⋅ v w '

Aplicando a regra da cadeia:

∂ S ∂ w = u ⋅ 1 1 - v w 2 ⋅   - v 2 w

Simplificando:

∂ S ∂ w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

Resposta

∂ S ∂ u = a r c t g ( v w )

∂ S ∂ v = u w 1 - v 2 w

∂ S ∂ w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

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Suponha que a equação g ( x , y , z ) = 0 determina z como função derivável das variáveis independentes x e y e que g z ≠ 0 . Mostre que ∂ z ∂ y x = - ∂ g / ∂ y ∂ g / ∂ z .
Suponha que x 2 + y 2 = r 2 e x = r c o s ⁡ θ , como nas coordenadas polares. Encontre ∂ x ∂ r θ e ∂ r ∂ x y
Encontrea. ((del w)/(del x))_y b. ((del w)/(del z))_y no ponto ( x , y , z ) = ( 0,1 , pi ) sew = x^2 + y^2 + z^2 e y s e n z + z s e n x = 0
Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostreas relações entre as variáveis.Se w = x 2 + y 2 + z 2 e z = x 2 + y 2 , encontrea. ∂ w ∂ y z b. ∂ w ∂ z x c. ∂ w ∂ z y .
Encontre ( del u // del y )_x no ponto ( u , v ) = ( sqrt(2) , 1 ) , se x = u^2 + v^2 e y = u v .