Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

Passo 1

Oie, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Veja bem, aqui queremos encontrar as derivadas parciais da função:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

Para encontrarmos a derivada parcial de uma função a gente deriva em relação a variável que a gente quer, mas a gente considera todas as outras variáveis que a gente encontrar pelo caminho como constante.

Veja que para as derivadas parciais as regras de derivação se aplicam normalmente, sendo assim, deveremos utilizar a regra da cadeia aqui.

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ S ∂ u . Considerando v e w constantes, a derivada em u é bem tranquila:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ u = arctan ⁡ ( v w )

Passo 3

Agora considerando u e w constantes teremos ∂ S ∂ v , aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ v = u ⋅ arctan ⁡ ( g v ' ⋅ v w '

Realizando essas derivadas:

∂ S ∂ v = u ⋅ 1 1 - v w 2 . w

Simplificando:

∂ S ∂ v = u w 1 - v 2 w

Passo 4

Por fim, considerando v e u constantes teremos ∂ S ∂ w , e novamente existe a necessidade de se aplicar a regra da cadeia:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ w = u ⋅ arctan ⁡ ( g w ' ⋅ v w '

Aplicando a regra da cadeia:

∂ S ∂ w = u ⋅ 1 1 - v w 2 ⋅   - v 2 w

Simplificando:

∂ S ∂ w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

Resposta

∂ S ∂ u = a r c t g ( v w )

∂ S ∂ v = u w 1 - v 2 w

∂ S ∂ w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

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