Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

Passo 1

Oie, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Veja bem, aqui queremos encontrar as derivadas parciais da função:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

Para encontrarmos a derivada parcial de uma função a gente deriva em relação a variável que a gente quer, mas a gente considera todas as outras variáveis que a gente encontrar pelo caminho como constante.

Veja que para as derivadas parciais as regras de derivação se aplicam normalmente, sendo assim, deveremos utilizar a regra da cadeia aqui.

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ S ∂ u . Considerando v e w constantes, a derivada em u é bem tranquila:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ u = arctan ⁡ ( v w )

Passo 3

Agora considerando u e w constantes teremos ∂ S ∂ v , aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ v = u ⋅ arctan ⁡ ( g v ' ⋅ v w '

Realizando essas derivadas:

∂ S ∂ v = u ⋅ 1 1 - v w 2 . w

Simplificando:

∂ S ∂ v = u w 1 - v 2 w

Passo 4

Por fim, considerando v e u constantes teremos ∂ S ∂ w , e novamente existe a necessidade de se aplicar a regra da cadeia:

S u , v , w = u arctan ⁡ ( v w )

∂ S ∂ w = u ⋅ arctan ⁡ ( g w ' ⋅ v w '

Aplicando a regra da cadeia:

∂ S ∂ w = u ⋅ 1 1 - v w 2 ⋅   - v 2 w

Simplificando:

∂ S ∂ w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

Resposta

∂ S ∂ u = a r c t g ( v w )

∂ S ∂ v = u w 1 - v 2 w

∂ S ∂ w = - u v 2 w ( 1 - v 2 w )

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Suponha que a equação g(x, y, z) = 0 determina z como função derivável das variáveis independentes x e y e que g_z ≠ 0 . Mostre que∂z/∂y|_x = - (∂g/∂y) / (∂g/∂z)
Suponha que x^2 + y^2 = r^2 e x = r * cos(θ) , como nas coordenadas polares. Encontre∂x/∂r_θ e ∂r/∂x_y
Encontrea. ∂w/∂x|y b. ∂w/∂z|_y no ponto (x, y, z) = (0,1, pi) sew = x² + y² + z² e y * sen(z) + z * sen(x) = 0
Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostreas relações entre as variáveis.Se w = x^2 + y^2 + z^2 e z = x^2 + y^2 , encontrea. ∂w/∂y_z b. ∂w/∂z_x c. ∂w/∂z|y .
Encontre (∂u/∂y)_{x} no ponto (u, v) = (raiz(2), 1) , se x = u^2 + v^2 * e y = u * v .