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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.Revisão - Ex. 14

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

g u , v = u + 2 v u 2 + v 2

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje meu brother.

Bom, o problema pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Para isso, basta tomar as derivadas usando as regras de derivação!

A gente tem a função:

g u , v = u + 2 v u 2 + v 2

Então deveremos encontrar g u e g v . Para derivarmos parcialmente deveremos derivar em relação a variável que a gente quer, e deveremos considerar as outras variáveis como constantes.

Veja que aqui a gente tem uma divisão, sendo assim, deveremos aplicar a regra do quociente para derivações:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Passo 2

Neste caso, temos uma função de u e v . Vamos derivar primeiro com relação a u . Pela regra do quociente, considerando v constante:

g u , v = u + 2 v u 2 + v 2

∂ g ∂ u = u + 2 v ' ⋅ u 2 + v 2 - u + 2 v ⋅ u 2 + v 2 ' u 2 + v 2

Derivando:

∂ g ∂ u = 1 ⋅ u 2 + v 2 - 2 u   ( u + 2 v ) u 2 + v 2 2

Logo, simplificando:

∂ g ∂ u = u 2 + v 2 - 2 u 2 - 4 u v u 2 + v 2 2

Portanto,

∂ g ∂ u = v 2 - u 2 - 4 u v u 2 + v 2 2

Agora fazemos o mesmo com relação a v :

∂ g ∂ v = u + 2 v ' ⋅ u 2 + v 2 - u + 2 v ⋅ u 2 + v 2 ' u 2 + v 2

Realizando as derivadas em relação a v :

∂ g ∂ v = 2 ⋅ u 2 + v 2 - 2 v   u + 2 v u 2 + v 2 2

Realizando a distributiva:

∂ g ∂ v = 2 u 2 + 2 v 2 - 2 u v - 4 v 2 u 2 + v 2 2

Portanto,

∂ g ∂ v = 2 u 2 - 2 v 2 - 2 u v u 2 + v 2 2

Resposta

∂ g ∂ u = v 2 - u 2 - 4 u v u 2 + v 2 2

∂ g ∂ v = 2 u 2 - 2 v 2 - 2 u v u 2 + v 2 2

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