22.Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:

c) f(x, y) = { (x^3 - 3x*y^2 + 2) / (2xy^2 - 1), P(1, 2) }

Passo 1

Uma função é contínua quando ela não é feita de pedacinhos, ela é exatamente como a palavra sugere, uma linha só, sem nenhuma descontinuidade.

Em outras palavras, uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Ou seja, se essa regrinha valer em todos os pontos, ela é continua em todo seu domínio.

Passo 2

Temos que nosso l i m x → a y → b f ( x , y ) é a seguinte:

lim x → 1 y → 2 ⁡ x 3 - 3 x y 2 + 2 2 x y 2 - 1 = l i m x → 1 y → 2 1 - 12 + 2 8 - 1 = - 9 7

Portanto,

l i m x → 1 y → 2 x 3 - 3 x y 2 + 2 2 x y 2 - 1 =   - 9 7

Passo 3

Agora precisamos achar nossa f ( x , y ) :

f 1,2 = 1 3 - 3 ⋅ 1 ⋅ 2 2 + 2 2 ⋅ 1 ⋅ 2 2 - 1 = - 9 7

Logo, temos que f 1,2 = - 9 7

Passo 4

Assim,

l i m x → 1 y → 2   f x , y = f ( 1,2 )

Logo, a função dada é contínua no ponto P 1,2 .

Resposta

É contínua no ponto P ( 1,2 ) .

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