Sejam e . Suponha e que para todo , onde é um real fixo. Prove
Passo 1
Se , podemos afirmar que todas as coordenadas de são limitadas por um número real finito, ou seja, se existe um valor que satisfaz
Traduzindo, para todo real, está limitado por que é um valor real fixo e finito.
Ainda, se , e supomos , então
Passo 2
- Calculando o limite temos
- Se temos que calcular o seguinte limite
Usando as propriedades do limite
Provamos anteriormente que é limitado e que , então podemos afirmar que
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Passo 3
Vamos primeiro entender o que é a função
Calculando coordenada por coordenada, temos os limites
Pela propriedade dos limites podemos dizer que
O é limitado e , então
E
Então
Para todas as coordenadas do produto vetorial e o limite é dado por
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Seja A um subconjunto so R^2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam (x₀, y₀) e (x₁, y₁) em A, existe uma curva contínua γ: [a, b] → A , tal que γ(a) = (x₀, y₀) e γ(b) = (x₁, y₁) . Prove que se f
Seja f : A ⊂ R^2 → R , A aberto , uma função contínua e seja c um número real dado. Prove que p conjunto {x, y} ∈ A; f(x, y)c é aberto.
Dizemos que a sequência de pontos x_n, y_n_n converge para (x, y) e dado ϵ0 , existe um natural n₀ tal que nn₀ ⇒ ‖(xₙ, yₙ) - (x-, y-)‖ϵ Suponha que f(x, y) seja contínua em (x -, y -) e que x_n, y_n_n
Suponha que f é é contínua no retângulo A = { x, y | (x, y) ∈ R², α ≤ x ≤ β, α - ≤ y ≤ β - } . Prove que f é limitada em A .(Sugestão: Suponha, por absurdo, que f não seja limitada em A . Então existe
Suponha que f é é no exercício 7. Mostre que f assume um valor máximo e mínimo em A. (Sugestão: Veja Apêndice A2.4 do vol. 1 )