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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 5

Sejam F → : A → R 3 e G → : A → R 3 . Suponha lim t → t 0 ⁡ F → ( t ) = 0 → e que G → t ≤ M para todo t ∈ A , onde M > 0 é um real fixo. Prove

  1. lim t → t 0 ⁡ F → t ⋅ G → ( t ) = 0
  2. lim t → t 0 ⁡ F → t × G → t = 0 →

Passo 1

Se G → t ≤ M , podemos afirmar que todas as coordenadas de G → t são limitadas por um número real finito, ou seja, se G → t = ( G 1 , G 2 , G 3 ) existe um valor L i que satisfaz

G i t ≤ L i ≤ M ,   ∀ t ∈ R

Traduzindo, para todo t real, G i t ,   i = 1,2 , 3 está limitado por M que é um valor real fixo e finito.

Ainda, se lim t → t 0 ⁡ F → ( t ) = 0 → , e supomos F → t = ( F 1 , F 2 , F 3 ) , então

lim t → t 0 ⁡ F i ( t ) = 0

Passo 2

  1. Calculando o limite lim t → t 0 ⁡ F → t ⋅ G → ( t ) = 0 temos

    2. lim t → t 0 ⁡ F → t ⋅ G → ( t ) = lim t → t 0 ⁡ F 1 G 1 + F 2 G 2 + F 3 G 3

    Usando as propriedades do limite

    = l i m t → t 0 F 1 G 1 + l i m t → t 0 F 2 G 2 + l i m t → t 0 F 3 G 3

    Provamos anteriormente que G i t é limitado e que lim t → t 0 ⁡ F i ( t ) = 0 , então podemos afirmar que

    lim t → t 0 ⁡ F i G i = 0

    Logo

    l i m t → t 0 F 1 G 1 + l i m t → t 0 F 2 G 2 + l i m t → t 0 F 3 G 3 = 0

    Passo 3

  2. Se temos que calcular o seguinte limite

lim t → t 0 ⁡ F → t × G → t

Vamos primeiro entender o que é a função

F → t × G → t = i → j → k → F 1 F 2 F 3 G 1 G 2 G 3

= F 2 G 3 - F 3 G 2 i → + F 3 G 1 - F 1 G 3 j → + F 1 G 2 - F 2 G 1 k →

Calculando coordenada por coordenada, temos os limites

lim t → t 0 ⁡ F i G j - F j G i

Pela propriedade dos limites podemos dizer que

lim t → t 0 ⁡ F i G j - F j G i = lim t → t 0 ⁡ F i G j - lim t → t 0 ⁡ F j G i

= lim t → t 0 ⁡ F i lim t → t 0 ⁡ G j - lim t → t 0 ⁡ F j ⋅ lim t → t 0 ⁡ G i

O lim t → t 0 ⁡ G i é limitado e lim t → t 0 ⁡ F i = 0 , então

lim t → t 0 ⁡ F i lim t → t 0 ⁡ G j = 0

E

lim t → t 0 ⁡ F j ⋅ lim t → t 0 ⁡ G i = 0

Então

lim t → t 0 ⁡ F i lim t → t 0 ⁡ G j - lim t → t 0 ⁡ F j ⋅ lim t → t 0 ⁡ G i = 0

Para todas as coordenadas do produto vetorial e o limite é dado por

lim t → t 0 ⁡ F → t × G → t = 0 →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Seja f : A ⊂R 2 →R , A aberto , uma função contínua e seja c um número real dado. Prove que p conjunto { x , y ∈ A ; fx , yc } é aberto.
Dizemos que a sequência de pontos x n ,y n n converge para ( x - , y - ) e dado ϵ0 , existe um natural n 0 tal que nn 0 ⇒x n ,y n - ( x - , y - )ϵ Suponha que f ( x , y ) seja contínua em ( x - , y -
Suponha que fé é contínua no retângulo A = x , y ∈ R 2 α ≤ x ≤ β ,α- ≤ y ≤ β - . Prove que f é limitada em A .(Sugestão: Suponha, por absurdo, que f não seja limitada em A . Então existe x 1 ,y 1 ∈ A
Suponha que fé é no exercício 7. Mostre que f assume um valor máximo e mínimo em A. (Sugestão: Veja Apêndice A2.4 do vol. 1 )