26.Encontrar Delta y - d y das funções dadas. a) y = 3 x^2 - x + 1 b) y = 2 sqrt(x) c) y = (x + 1)/(2 x - 1) Passo 1Inicialmente vamos lembrar as fórmulas de Delta y e d y . Delta y = f (x + Delta x) - f ( x ) d y = f ´ ( x ) Delta x Passo 2Vamos para a letra a). f (x + Delta x) = 3 (x + Delta x)^2 - (x + Delta x) + 1 f (x + Delta x) = 3 (x^2 + 2 x Delta x + Delta x^2) - (x + Delta x) + 1 f (x + Delta x) = 3 x^2 + 6 x Delta x + Delta x^2 - x + Delta x + 1 f (x) = 3 x^2 - x + 1 Delta y = f (x + Delta x) - f (x) = 3 x^2 + 6 x Delta x + 3 Delta x^2 - x + Delta x + 1 - (3 x^2 - x + 1) Delta y = 6 x Delta x + 3 Delta x^2 + Delta x Cálculo de d y . d y = (3 x^2 - x + 1) ' Delta x d y = (6 x - 1) Delta x = 6 x Delta x - Delta x Fazendo Delta y - d y : Delta y - d y = 6 x Delta x + 3 Delta x^2 + Delta x - (6 x Delta x - Delta x) Delta y - d y = 6 x ��� x + 3 Delta x^2 + Delta x - 6 x Delta x + Delta x � � � Delta y - d y = 3 Delta x^2 Passo 3Vamos para a letra b). f (x + Delta x) = 2 sqrt((x + Delta x)) f (x) = 2 sqrt(x) Delta y = f (x + Delta x) - f (x) = 2 sqrt((x + Delta x)) - 2 sqrt(x) Daremos uma ajeitada nessa expressão, multiplicaremos e dividiremos por sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x) . Delta y = 2 (sqrt((x + Delta x)) - sqrt(x)) (2 (sqrt((x + Delta x)) - sqrt(x)) sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) = (2 ((x + Delta x) - x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) = ((2 Delta x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) Cálculo de d y . d y = ((x + 1)/(2 x - 1)) ' Delta x A derivada de 2 sqrt(x) é igual a : (2 sqrt(x))^' = 2 (1)/(2 sqrt(x)) = (1)/(sqrt(x)) Voltando para reescrever na expressão de d y . d y = ((1)/(sqrt(x))) Delta x = (Delta x)/(sqrt(x)) Voltando para reescrever na expressão de d y . d y = ((1)/(sqrt(x))) Delta x = (Delta x)/(sqrt(x)) Fazendo Delta y - d y : Delta y - d y = ((2 Delta x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) - (Delta x)/(sqrt(x)) Passo 4E para finalizar, vamos para a letra c ). f (x + Delta x) = (x + Delta x + 1)/(2 (x + Delta x) - 1) = (x + Delta x + 1)/(2 x + 2 Delta x - 1) f (x) = (x + 1)/(2 x - 1) Delta y = f (x + Delta x) - f (x) = (x + Delta x + 1)/(2 x + 2 Delta x - 1) - (x + 1)/(2 x - 1) Daremos uma ajeitada nessa expressão Delta y = ((x + Delta x + 1) (2 x - 1) - (2 x + 2 Delta x - 1) (x + 1))/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) = (2 x^2 + 2 x Delta x + 2 x - x - Delta x - 1 - (2 x^2 + 2 x Delta x - x + 2 x + 2 Delta x - 1))/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) = (2 x^2 + 2 x Delta x + x - Delta x - 1 - (2 x^2 - 2 x Delta x - x - 2 Delta x + 1))/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) = - (3 Delta x)/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) Cálculo de d y . d y = ((x + 1)/(2 x - 1))^' Delta x A derivada de (x + 1)/(2 x - 1) é igual a : ((x + 1)/(2 x - 1))^' = (1 (2 x - 1) - 2 (x + 1))/((2 x - 1)^2) = (2 x - 1 - 2 x - 2)/((2 x - 1)^2) = - (3)/((2 x - 1)^2) Voltando para reescrever na expressão de d y . d y = - (3)/((2 x - 1)^2) Delta x = - (3 Delta x)/((2 x - 1)^2) Fazendo Delta y - d y : Delta y - d y = - (3 Delta x)/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) - (- (3 Delta x)/((2 x - 1)^2)) = - (3 Delta x)/((2 x + 2 ��� x - 1) (2 x - 1)) + (3 Delta x)/((2 x - 1)^2) � � � Respostaa) 3 Delta x^2 b) ((2 Delta x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) - (Delta x)/(sqrt(x)) c) - (3 Delta x)/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) + (3 Delta x)/((2 x - 1)^2) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosNos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x₁ ; (c) calcule f'(-1)(x) e f' + (x1) se existirem; (d) determine se f é derivável emNos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x₁ ; (c) calcule f'(-)(x1) e f'(+) (x₁), se existirem; (d) determine se f é derivável Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x_1 ; (c) calcule f'(-1)(x) e f'+(x1) se existirem; (d) determine se f é derivável emx56. Suponha que g(x) = raiz(9 - x^2) e h(x) = f(g(x)) , onde f é derivável em 3. Prove que h' (0) = 055. Suponha que g(x) = | f(x) | Prove que se f'(x) e g'(x) existem, então | g'(|x|) = | f'(|x|) |Ver TambémVer Livro Diva Flemming - Cálculo AVer tudo sobre DerivadasLista de exercícios de DiferenciabilidadeVer exercício 4.21 - 27aVer exercício 6.11 - 1d