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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 26

26.Encontrar Delta y - d y das funções dadas.

a) y = 3 x^2 - x + 1 b) y = 2 sqrt(x) c) y = (x + 1)/(2 x - 1)

Passo 1

Inicialmente vamos lembrar as fórmulas de Delta y e d y .

Delta y = f (x + Delta x) - f ( x )

d y = f ´ ( x ) Delta x

Passo 2

Vamos para a letra a).

f (x + Delta x) = 3 (x + Delta x)^2 - (x + Delta x) + 1

f (x + Delta x) = 3 (x^2 + 2 x Delta x + Delta x^2) - (x + Delta x) + 1

f (x + Delta x) = 3 x^2 + 6 x Delta x + Delta x^2 - x + Delta x + 1

f (x) = 3 x^2 - x + 1

Delta y = f (x + Delta x) - f (x) = 3 x^2 + 6 x Delta x + 3 Delta x^2 - x + Delta x + 1 - (3 x^2 - x + 1)

Delta y = 6 x Delta x + 3 Delta x^2 + Delta x

Cálculo de d y .

d y = (3 x^2 - x + 1) ' Delta x

d y = (6 x - 1) Delta x = 6 x Delta x - Delta x

Fazendo Delta y - d y :

Delta y - d y = 6 x Delta x + 3 Delta x^2 + Delta x - (6 x Delta x - Delta x)

Delta y - d y = 6 x ��� x + 3 Delta x^2 + Delta x - 6 x Delta x + Delta x

Delta y - d y = 3 Delta x^2

Passo 3

Vamos para a letra b).

f (x + Delta x) = 2 sqrt((x + Delta x))

f (x) = 2 sqrt(x)

Delta y = f (x + Delta x) - f (x) = 2 sqrt((x + Delta x)) - 2 sqrt(x)

Daremos uma ajeitada nessa expressão, multiplicaremos e dividiremos por sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x) .

Delta y = 2 (sqrt((x + Delta x)) - sqrt(x)) (2 (sqrt((x + Delta x)) - sqrt(x)) sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) = (2 ((x + Delta x) - x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) = ((2 Delta x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x)))

Cálculo de d y .

d y = ((x + 1)/(2 x - 1)) ' Delta x

A derivada de 2 sqrt(x) é igual a :

(2 sqrt(x))^' = 2 (1)/(2 sqrt(x)) = (1)/(sqrt(x))

Voltando para reescrever na expressão de d y .

d y = ((1)/(sqrt(x))) Delta x = (Delta x)/(sqrt(x))

Voltando para reescrever na expressão de d y .

d y = ((1)/(sqrt(x))) Delta x = (Delta x)/(sqrt(x))

Fazendo Delta y - d y :

Delta y - d y = ((2 Delta x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) - (Delta x)/(sqrt(x))

Passo 4

E para finalizar, vamos para a letra c ).

f (x + Delta x) = (x + Delta x + 1)/(2 (x + Delta x) - 1) = (x + Delta x + 1)/(2 x + 2 Delta x - 1)

f (x) = (x + 1)/(2 x - 1)

Delta y = f (x + Delta x) - f (x) = (x + Delta x + 1)/(2 x + 2 Delta x - 1) - (x + 1)/(2 x - 1)

Daremos uma ajeitada nessa expressão

Delta y = ((x + Delta x + 1) (2 x - 1) - (2 x + 2 Delta x - 1) (x + 1))/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1))

= (2 x^2 + 2 x Delta x + 2 x - x - Delta x - 1 - (2 x^2 + 2 x Delta x - x + 2 x + 2 Delta x - 1))/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1))

= (2 x^2 + 2 x Delta x + x - Delta x - 1 - (2 x^2 - 2 x Delta x - x - 2 Delta x + 1))/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) = - (3 Delta x)/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1))

Cálculo de d y .

d y = ((x + 1)/(2 x - 1))^' Delta x

A derivada de (x + 1)/(2 x - 1) é igual a :

((x + 1)/(2 x - 1))^' = (1 (2 x - 1) - 2 (x + 1))/((2 x - 1)^2) = (2 x - 1 - 2 x - 2)/((2 x - 1)^2) = - (3)/((2 x - 1)^2)

Voltando para reescrever na expressão de d y .

d y = - (3)/((2 x - 1)^2) Delta x = - (3 Delta x)/((2 x - 1)^2)

Fazendo Delta y - d y :

Delta y - d y = - (3 Delta x)/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) - (- (3 Delta x)/((2 x - 1)^2))

= - (3 Delta x)/((2 x + 2 ��� x - 1) (2 x - 1)) + (3 Delta x)/((2 x - 1)^2)

Resposta

a) 3 Delta x^2

b)

((2 Delta x))/((sqrt((x + Delta x)) + sqrt(x))) - (Delta x)/(sqrt(x))

c)

- (3 Delta x)/((2 x + 2 Delta x - 1) (2 x - 1)) + (3 Delta x)/((2 x - 1)^2)

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