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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 29

Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2   e - x 2 - y 2 d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Devemos calcular a integral iterada, que é uma integral que possui limites de integração para aplicar. Ele nos forneceu uma integral dupla, e pediu para resolvermos em coordenadas polares.

Beleza, e agora?

Em coordenadas polares, temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

d y d x = r d r d θ

Sabendo disso, precisamos substituir na integral dada esses valores.

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2   e - x 2 - y 2 d y d x

E lembre-se que sempre começamos a integrar de dentro para fora.

Logo, observe que a primeira integração é em d y , e observe que o limite de y varia entre:

0 ≤   y ≤ 4 - x 2  

Já o limite de x, varia entre:

0 ≤ x ≤ 2

Vamos precisar disso, para conhecer nossa região de integração e também para converter para coordenadas polares.

Feito isso, é só montar a integral e começar a integrar.

Belezinha!? Bora colocar mão na massa agora.

Passo 2

Observando os limites de integração sabemos que a região de integração é:

y = 4 - x 2  

Reescrevendo:

y 2 = 4 - x 2

x 2 + y 2 = 4

Sabemos que:

x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2

Logo,

r 2 = 4

r = 2

Observando novamente os limites, sabemos que y ≥ 0 e x ≥ 0 .

Logo, estamos no primeiro quadrante com 0 ≤ θ ≤ π 2 .

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora é só montar nossa integral em coordenadas polares.

Vamos ter que:

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2   e - x 2 - y 2 d y d x

Em coordenadas polares, vamos substituir:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

d y d x = r d r d θ

Onde,

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ π 2

Logo, temos:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 e - r 2 r d r d θ

Vamos começar a integrar de dentro para fora.

∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 e - r 2 r d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos que aplicar a regra da substituição. Seja:

r 2 = u

d u = - 2 r d r ∴   - d u 2 = r d r

Analisando os intervalos, temos que:

r = 0 → u = 0

r = 2 → u = 4

Logo:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 e - u d u 2 d θ

Integrando,

∫ 0 π / 2 1 2 - e - u 0 4 d θ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π / 2 1 2 1 - e - 4 d θ

Passo 4

Agora, nos restou uma integral simples em d θ .

∫ 0 π / 2 1 2 1 - e - 4 d θ

Integrando, vamos ter:

1 2 1 - e - 4 θ 0 π 2

Aplicando os limites de integração:

1 2 1 - e - 4 π 2

Simplificando:

π 4 1 - e - 4

Portanto a nossa integral vale:

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2   e - x 2 - y 2 d y d x = π 4 1 - e - 4

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2   e - x 2 - y 2 d y d x = π 4 1 - e - 4

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Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é o sólido acima do plano x y limitado pelas superficies z = 0 , x + y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 .
Determine o volume dos sólidos W abaixo.W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 25 e x^2 + y^2 = 9}
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superficíces z = 0 , x 2 + y 2 = 2 y e z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )d xd y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 c o sθ .