Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 55
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos dá uma função e pede para que calculemos todas as derivadas parciais de segunda ordem. Relembrando: Para calcular uma derivada parcial em uma variável, por exemplo, tratamos as demais como constante e derivamos normal. A diferença nesse caso é que buscamos a derivada de segunda ordem, ou seja, vamos precisar derivar duas vezes para cada caso! Exemplo: Para nós derivamos em duas vezes.
Passo 2
Nós temos a função
Para obter temos de obter, primeiro, e, em seguida, derivar novamente em relação a . Lembre-se: Estamos considerando como constante em ambas as derivações.
Dessa forma, encontrando utilizando a regra da cadeia, temos:
E agora, derivando novamente, com a regra do quociente, temos:
Relembrando a regra do quociente:
Seja
Então
De forma que
Passo 3
Para obter o processo é similar: Fixamos e derivamos duas vezes em . Mas veja que nessa função e poderiam trocar de posição e a função seria exatamente a mesma!
Dessa forma:
Passo 4
Veja que a questão nos pede para encontrar TODAS as variáveis de segunda ordem, isto é, precisaremos encontrar também as derivadas “cruzadas” e .
O processo continua simples: Derivamos uma vez, mas quando derivarmos novamente trocamos de variável.
Para obter seguimos a ordem do índice: Encontramos para depois encontrar (imagine como se fosse um “” onde pegamos a função , derivamos em e tratamos como constante). Vejamos no exemplo:
Como é uma função contínua (toda função raiz é contínua), pelo Teorema de Clairaut podemos afirmar que