Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 32

Oiii, tudo certinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

Onde é a temperatura e é o ponto.

Primeiramente queremos determinar a taxa de variação da temperatura no ponto em direção ao ponto .

Para isso, precisaremos calcular o vetor gradiente, que é dado da seguinte forma:

Onde é a derivada direcional (que é dada através das derivadas parciais de ) e �� o vetor normal, que é dado por:

Onde é dado pela diferença entre os dois pontos que a questão nos deu.

Em seguida, queremos calcular a direção de maior crescimento da temperatura em . Para isso, basta analisarmos com atenção o termo .

Por fim, queremos calcular a taxa máxima de crescimento em . Nesse caso, basta calcularmos o módulo de .

Agora bora lá!! 😉

Primeiramente vamos calcular o vetor gradiente . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de .

Sabemos que:

Assim, derivando em relação a , obtemos:

Aplicando a regra da cadeia, temos:

Derivando em relação a , de forma análoga, obtemos:

De acordo com o passo anterior, temos:

Aplicando o ponto , teremos:

Por outro lado, calculando o vetor , temos:

Com isso, podemos encontrar o vetor direcional:

Agora queremos calcular a direção de maior crescimento da temperatura em . Para isso, basta analisarmos com atenção o termo .

Anteriormente, calculamos o seguinte:

Podemos colocar um termo em evidência para fora:

Assim, podemos dizer que a direção de maior crescimento é qualquer vetor na seguinte direção:

Por fim, queremos calcular a taxa máxima de crescimento em .

Nesse caso, basta calcularmos o módulo de :

Aplicando o ponto , temos que a taxa máxima de crescimento em é dada por: