53-58. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

53. f x ,   y = x 3 y 5 + 2 x 4 y

Passo 1

Nessa questão, teremos de calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

f x ,   y = x 3 y 5 + 2 x 4 y

As derivadas são

f x x = ∂ 2 f ∂ x 2

f y y = ∂ 2 f ∂ y 2

f x y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y

f y x = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

O raciocínio é o mesmo que possuímos para derivada de primeira ordem. A diferença está no fato de derivarmos uma função que já é derivada de uma anterior.

Passo 2

Nossa função é:

f x ,   y = x 3 y 5 + 2 x 4 y

Para obter f x x x ,   y temos de obter, primeiro, f x x ,   y e, em seguida, derivar novamente em relação a x . Nesse caso, estamos considerando y constante em ambas as derivações.

Além disso, veja que vamos derivar potências, então aplicaremos a regra

d d x x n = n ⋅ x n - 1

A primeira derivada de f com respeito a x é:

f x x , y = 3 x 2 y 5 + 8 x 3 y

Derivando novamente com respeito a x , obtemos

f x x x , y = 6 x y 5 + 24 x 2 y

Passo 3

Para obter f y y x ,   y , temos de obter, primeiro, f y x , y e, em seguida, derivar novamente em relação a y . Nesse caso, estamos considerando x constante em ambas as derivações.

Aplicando a regra da potência, obtemos a primeira derivada de f   com respeito a y .

f y x , y = 5 x 3 y 4 + 2 x 4

Derivando novamente, temos

f y y x , y = 20 x 3 y 3

Passo 4

Agora, vamos obter f x y x , y e derivando f x x , y com relação a y , mantendo x constante:

f x y x , y = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

Da mesma forma, vamos obter f y x x , y e derivando f y x , y com relação a x , mantendo y constante:

f y x x , y = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

Como já esparávamos, f y x x , y = f x y x , y , visto que a função f é polinomial, então suas derivadas existem e são contínuas. Se isso acontece, então elas são iguais.

Resposta

f x x x , y = 6 x y 5 + 24 x 2 y

f y y x , y = 20 x 3 y 3

f y x x , y = f x y x , y = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

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