Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 53
53-58. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
53.
Passo 1
Nessa questão, teremos de calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
As derivadas são
O raciocínio é o mesmo que possuímos para derivada de primeira ordem. A diferença está no fato de derivarmos uma função que já é derivada de uma anterior.
Passo 2
Nossa função é:
Para obter temos de obter, primeiro, e, em seguida, derivar novamente em relação a . Nesse caso, estamos considerando constante em ambas as derivações.
Além disso, veja que vamos derivar potências, então aplicaremos a regra
A primeira derivada de com respeito a é:
Derivando novamente com respeito a , obtemos
Passo 3
Para obter temos de obter, primeiro, e, em seguida, derivar novamente em relação a . Nesse caso, estamos considerando constante em ambas as derivações.
Aplicando a regra da potência, obtemos a primeira derivada de com respeito a .
Derivando novamente, temos
Passo 4
Agora, vamos obter e derivando com relação a , mantendo constante:
Da mesma forma, vamos obter e derivando com relação a , mantendo constante:
Como já esparávamos, , visto que a função é polinomial, então suas derivadas existem e são contínuas. Se isso acontece, então elas são iguais.