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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 41

41-Usando o exercício 40, calcule:

underset(x -> 0)(lim) (l n (x + 1))/(x^2 + s e n x)

underset(x -> - 1)(l i m) (e^(2 x - pi) - 1)/(2 s e n x + s e n 6 x - 2)

underset(x -> 0)(l i m) (x root(3)(x + 1))/(s e n (pi x^2))

underset([[x -> (pi)/(2)],[]])(l i m) (x + root(3)(x^2 + s e n 3 x))/(l n (x^2 + x + 1))

underset([[x -> 0],[]])(l i m) (e^(- x^2) + x - 1)/(e^(4 x) + x^5 - 1)

underset(x -> 1)(l i m) (s e n (s e n pi x))/(2 - sqrt(x) - root(3)(x^2))

Passo 1

Primeiramente, notemos que todas as funções são razões do tipo 0/0, então podemos aplicar o resultado da questão 40.

a)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: (l n (x + 1))^' = (1)/(x + 1)

Denominador: (x^2 + s e n (x))^' = 2 x + c o s ( x )

Assim, o limite é dado por:

((1)/(x + 1))/(2 x + c o s x) = 1

Passo 2

b)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: ( e^(2 x - pi) - 1 ) ' = 2 . e^(2 x - pi)

Denominador: (2 s e n x + s e n 6 x - 2)^' = 2 c o s x + 6 c o s 6 x

Assim, o limite é tal que:

(2 . e^(2 x - pi))/(2 c o s x + 6 c o s 6 x) = (2)/(6 c o s 3 pi) = (2)/(- 6) = - (1)/(3)

Passo 3

c)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: (x root(3)(x + 1))^' = (x + 1)^((1)/(3)) + (1)/(3) x (x + 1)^(- (2)/(3))

Denominador: (s e n (pi x^2))^' = 2 pi x c o s (pi x^2)

Observe que o limite é dado por:

((x + 1)^((1)/(3)) + (1)/(3) x (x + 1)^(- (2)/(3)))/(2 pi x c o s (pi x^2)) = (0)/(- 1) = 0

Passo 4

d)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: (x + root(3)(x^2 + s e n 3 x))^' = 1 + (1)/(3) (2 x + 3 c o s 3 x) (x^2 + s e n 3 x)^(- (2)/(3))

Denominador: (l n (x^2 + x + 1))^' = (2 x + 1)/(x^2 + x + 1)

O limite é dado por:

((1 + (1)/(3) (2 x + 3 c o s 3 x) (x^2 + s e n 3 x)^(- (2)/(3))))/((2 x + 1)/(x^2 + x + 1)) = (1)/(1) = 1

Passo 5

e)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: ( e^(- x^2) + x - 1 ) ' = - 2 x . e^(- x^2) + 1

Denominador: (e^(4 x) + x^5 - 1)^' = 4 e^(4 x) + 5 x^4

Assim, o limite é dado por:

(- 2 x . e^(- x^2) + 1)/(4 e^(4 x) + 5 x^4) = (1)/(4)

Passo 6

f)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: (s e n (s e n pi x))^' = c o s pi x . c o s ( s e n pi x )

Denominador: (2 - sqrt(x) - root(3)(x^2))^' = - (1)/(2) x^(- (3)/(2)) - (2)/(3) x^(- (1)/(3))

Assim o limite é dado por:

((c o s pi x . c o s c o s (s e n pi x)))/(- (1)/(2) x^(- (3)/(2)) - (2)/(3) x^(- (1)/(3))) = - (1)/(- (1)/(2) - (2)/(3)) = (1)/((7)/(6)) = (6)/(7)

Resposta

  1. 1
  2. - (1)/(3)
  3. 0
  4. 1
  5. (1)/(4)
  6. (6)/(7)
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