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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 37

37. Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a seguinte propriedade. Suponha que u e v sejam funções de x e y diferenciáveis, e a e b sejam constantes.

  1. ∇ a u + b v =   a ∇ u + b ∇ v .
  2. ∇ u v = u ∇ v + v ∇ u
  3. ∇ u v = v ∇ u - u ∇ v v ²
  4. ∇ u n = n u n - 1 ∇ u

Passo 1

E aí, galera! Tudo certo?

Nessa questão nós queremos verificar algumas propriedades do gradiente de uma função de duas variáveis, como as funções u ( x , y ) e v ( x , y ) .

O gradiente de uma função de duas variáveis é dado por

∇ f x , y = ∂ f ∂ x x ^ + ∂ f ∂ y y ^

Desse modo, analisaremos cada caso dado em função dessa expressão.

Vem comigo.

Passo 2

Nesse primeiro item, temos o seguinte:

∇ a u + b v

Logo, queremos obter o gradiente de uma função

f = a u + b v

temos o seguinte:

∇ a u + b v = ∂ a u + b v ∂ x x ^ + ∂ a u + b v ∂ y y ^

Como ∂ f + g ∂ h = ∂ f ∂ h + ∂ g ∂ h e tirando as contantes:

∇ a u + b v = a ∂ u ∂ x + b ∂ v ∂ x x ^ + a ∂ u ∂ y + b ∂ v ∂ y y ^

Isolando os termos em ∂ u e ∂ v , temos:

∇ a u + b v =   a ∂ u ∂ x x ^ + ∂ u ∂ y y ^ + b ∂ v ∂ x x ^ + ∂ v ∂ y y ^

Portanto,

∇ a u + b v =   a ∇ u + b ∇ v

Passo 3

b) Agora ele nos pede para ver como fica ∇ u v . Vem comigo!

∇ u v = ∂ ∂ x u v x ^ + ∂ ∂ y u v y ^

Usando a regra da cadeia nos dois termos:

∇ u v = ∂ u v ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ u v ∂ v ∂ v ∂ x x ^ + ∂ u v ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ u v ∂ v ∂ v ∂ y y ^

Isso resulta em

∇ u v = v ∂ u ∂ x + u ∂ v ∂ x x ^ + v ∂ u ∂ y + u ∂ v ∂ y y ^

Note que as derivadas de u   com relação a x e y aparecem multiplicadas por v nos dois termos, o mesmo para as derivadas de v , mas multiplicadas por u . Assim,

Separando os termos:

∇ u v =   v ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y x ^ + u ∂ v ∂ x + ∂ v ∂ y y ^

Portanto,

∇ u v = v ∇ u + u ∇ v .

Passo 4

c) Agora ele nos pede para ver como fica ∇ u v , logo:

∇ u v = ∂ ∂ x u v x ^ + ∂ ∂ y u v y ^

Aqui nós vamos precisar das seguintes derivadas:

∂ u v ∂ u = 1 v

∂ u v ∂ v = - u v 2

Usando a regra da cadeia, teremos:

∇ u v = 1 v ∂ u ∂ x - u v 2 ∂ v ∂ x x ^ + 1 v ∂ u ∂ y - u v 2 ∂ v ∂ y y ^

Agora vamos separar as derivadas de u e v

∇ u v = 1 v ∂ u ∂ x x ^ + 1 v ∂ u ∂ y y ^ + - u v 2 ∂ v ∂ x x ^ - u v 2 ∂ v ∂ y y ^

Note que existe um v 2 nos denominadores do segundo termo, então vamos fazer surgir também no primeiro termo:

∇ u v = v v 2 ∂ u ∂ x x ^ + v v 2 ∂ u ∂ y y ^ + - u v 2 ∂ v ∂ x x ^ - u v 2 ∂ v ∂ y y ^

Agora botamos v 2 em evidência:

∇ u v = 1 v 2 v ∂ u ∂ x x ^ + v ∂ u ∂ y y ^ - u ∂ v ∂ x x ^ + u ∂ v ∂ y y ^

Daí reconhecemos o gradiente de u e v nos termos entre parêntesis. Portanto,

Portanto,

∇ u v = v   ∇ u - u   ∇ v v ²

Passo 5

d) Agora é pra acabar! Vamos ver como fica   ∇ u n . Inicialmente, temos:

∇ u n = ∂ u n ∂ x x ^ + ∂ u n ∂ y y ^

Logo, pela regra da cadeia

∇ u n = n u n - 1 ∂ u ∂ x x ^ + n u n - 1 ∂ u ∂ y y ^

Colocando n u n - 1 em evidência:

∇ u n = n u n - 1 ∂ u ∂ x x ^ + ∂ u ∂ y y ^

Por fim,

∇ u n = n u n - 1   ∇ u

Resposta

Demonstrações

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