37. Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a seguinte propriedade. Suponha que u e v sejam funções de x e y diferenciáveis, e a e b sejam constantes. ∇ a u + b v =a ∇ u + b ∇ v . ∇ u v = u ∇ v + v ∇ u ∇ u v = v ∇ u - u ∇ v v ² ² ∇ u n = n u n - 1 ∇ u

Enunciado

E aí, galera! Tudo certo?

Nessa questão nós queremos verificar algumas propriedades do gradiente de uma função de duas variáveis, como as funções e .

O gradiente de uma função de duas variáveis é dado por

Desse modo, analisaremos cada caso dado em função dessa expressão.

Vem comigo.

Nesse primeiro item, temos o seguinte:

Logo, queremos obter o gradiente de uma função

temos o seguinte:

Como e tirando as contantes:

Isolando os termos em e , temos:

Portanto,

b) Agora ele nos pede para ver como fica . Vem comigo!

Usando a regra da cadeia nos dois termos:

Isso resulta em

Note que as derivadas de com relação a e aparecem multiplicadas por nos dois termos, o mesmo para as derivadas de , mas multiplicadas por . Assim,

Separando os termos:

Portanto,

c) Agora ele nos pede para ver como fica , logo:

Aqui nós vamos precisar das seguintes derivadas:

Usando a regra da cadeia, teremos:

Agora vamos separar as derivadas de e

Note que existe um nos denominadores do segundo termo, então vamos fazer surgir também no primeiro termo:

Agora botamos em evidência:

Daí reconhecemos o gradiente de e nos termos entre parêntesis. Portanto,

Portanto,

d) Agora é pra acabar! Vamos ver como fica . Inicialmente, temos:

Logo, pela regra da cadeia

Colocando em evidência:

Por fim,

Demonstrações