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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 15 a

Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y =

  1. x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 + 4 x y - 2 x - 4 y - 8 z + 2

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos primeiro. Vamos derivar a função,

∂ f ∂ x x , y = 2 x + 4 y - 2  

∂ f ∂ y x , y = 10 y + 4 x - 4

∂ f ∂ z x , y = 4 z - 8

Encontrando o número crítico,

∂ f ∂ x x , y = 0 =   ∂ f ∂ y x , y = ∂ f ∂ z x , y

Temos que

2 x + 4 y = 2 10 y + 4 x = 4 4 z = 8  

Da ultima equação do sistema

z = 2

Resta-nos resolver o sistema

2 x + 4 y = 2 10 y + 4 x = 4

Resolvendo o sistema, temos

x = 1     e   y = 0

Nosso candidato a numero critico é o ponto 1,0 , 2 .

Passo 2

Vamos analisar se ele é mínimo ou máximo. Precisamos encontrar as derivadas que precisamos para completar as hessianas. Ou seja,

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 2

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 10

∂ 2 f ∂ z 2 x , y

∂ 2 f ∂ x ∂ y   x , y = 4  

∂ 2 f ∂ x ∂ z   x , y = 0

∂ 2 f ∂ y ∂ z   x , y = 0

Passo 3

Substituindo nas hessianas,

H = 2 4 0 4 10 0 0 0 4 = 80 - 64 = 16

e,

H 1 = 2 4 4 10 = 20 - 16 = 4

Pelas hipóteses da questão, temos que ( 1,0 , 2 ) temos um ponto de mínimo.

Resposta

1,0 , 2 é um ponto de mínimo.

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