Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 54
Em qual ponto do elipsoide o plano tangente é paralelo ao plano ?
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de plano tangente com derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos dá uma função do tipo e a equação de um plano qualquer paralelo ao plano tangente dessa função.
O objetivo é encontrar o ponto da função que foi usado para construir o plano tangente! Mas como?
Para uma função do tipo em a equação do plano tangente pode ser dada por
Além disso, para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais precisam ser múltiplos escalares um do outro!
Então nós vamos construir a expressão do plano tangente com os valores que temos e comparar com a do enunciado usando os vetores normais para identificar o ponto !
Passo 2
Para montar o nosso plano, precisamos começar encontrando as derivadas parciais dessa função!
Vamos definir a função como
De forma que
Sendo assim, o vetor gradiente será
No ponto temos o seguinte vetor
Que é também o vetor normal do plano tangente!
Passo 3
O vetor normal do plano do enunciado é o seguinte
De forma que, se esses planos são paralelos, então seus vetores normais são múltiplos escalares
Onde é uma constante escalar
Assim, igualando as coordenadas:
Substituindo os valores na equação do elipsoide, teremos:
Como a função é um elipsoide, temos dois pontos com planos tangentes paralelos ao proposto! Mas como o vetor normal do plano proposto tem todos os valores positivos, vamos considerar
Ou
Passo 4
Agora que descobrimos , fica bem tranquilo acharmos o ponto em questão, se liga:
Sendo assim, o ponto será em: