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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 4

4)Calcular ∬_R^() (d x d y)/((1 + x^2 + y^2)^((3)/(2))) onde R é a região da Figura 7.35.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

0 <= r <= a

0 <= theta <= (pi)/(2)

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x^2 + y^2 = r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta

cos^2 + sen^2 = 1

Logo,

= r^2 * cos^2 theta + r^2 * sen^2 theta = r^2

Dessa forma, temos:

∬_(0 0)^(a (pi)/(2)) (r)/((1 + r^2)^(3 // 2)) d theta d r

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a theta ,

int_0^((pi)/(2)) (r)/((1 + r^2)^((3)/(2))) d theta = (pi)/(2) ((r)/((1 + r^2)^((3)/(2))))

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a r ,

(pi)/(2) int_0^a (1 + r^2)^(- (3)/(2)) r d r =

((pi)/(2) * (1)/(2) * ((1 + r^2)^(- (3)/(2)))/(- (1)/(2))|_0^a =

(- (pi)/(2) * (1)/(sqrt(1 + r^2))|_0^a =

(pi)/(2) * (- (1)/(sqrt(1 + a^2)) + 1)

Resposta

(pi)/(2) * (- (1)/(sqrt(1 + a^2)) + 1)

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