Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 40
Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por , onde é o peso (em libras), é a altura (em polegadas) e é a medida em pés quadrados. Se os erros nas medidas de e forem no máximo de , use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de diferenciais, vamos lá!
A questão nos dá uma função com um contexto bonitinho e pergunta qual o erro máximo (em %) de se e tiverem erros de até 2%.
Ou seja, estamos buscando para e !
Ou ainda, como estamos trabalhando com porcentagens:
Queremos o valor máximo de
Quando
Maaaas veja que podemos aproximar
E para calcular o diferencial total de uma função nosso mano James Stewart definiu
Ou ainda
Então, adaptando pro nosso caso onde buscamos a porcentagem máxima de , nosso objetivo final é encontrar
Então, para completar a fórmula, vamos encontrar as derivadas parciais e
Passo 2
Para encontrar derivamos a função em enquanto mantemos constante, de forma que:
E da mesma forma, para encontrar derivamos a função em enquanto mantemos constante:
Passo 3
Substituindo na nossa fórmula da diferencial total em porcentagem, temos:
Simplificando:
Mas lembra que o enunciado disse que “os erros nas medidas de e forem no máximo de ”
Ou ainda
E como
Então
Voltando pra equação nós temos agora
Sendo assim, a porcentagem de erro máxima para a medida da área () é .