Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 14
Determine o ponto da superfície , que se encontra mais perto da origem.
Passo 1
Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distância de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre a superfície dada”. Aí pronto! Matamos o enunciado!
Lembrando que a distância de um ponto à origem é dada por , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE a superfície).
Hmmmm, mas note que termos definido nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor ? Afinal, procurar o menor é o mesmo que procurar o menor ! Espertezaaaa!
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Agora, para resolver, o mais sensato é isolar , e nas três primeiras equações. De fato, como , o nosso sisteminha fica
Ou seja:
Isolando , nos sobra:
O resultado deste sisteminha fornece . Voltando atrás um pouco, isto nos dá e , voltando mais um pouco, .
Logo, o ponto de mínima distância procurado se localiza em: