Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 98
(a) Quantas derivadas de -ésima ordem tem uma função de duas variáveis?
(b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?
(c) Responda a parte (a) da questão para uma função de três variáveis.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha mais teórica de derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos pergunta três situações:
(a) Se temos uma função de duas variáveis, por exemplo, a questão quer saber quantas combinações de derivadas de ordem existem.
Exemplo: Se nós podemos ter seis derivada: , , , , e !
Então para isso a gente vai achar uma fórmula geral que descreva essa quantidade para qualquer valor de !
(b) Depois a questão pergunta quantas dessa derivadas são distintas se elas forem contínuas.
Aqui a gente vai precisar aplicar o teorema de Clairaut pra encontrar uma nova expressão para a quantidade de derivadas
Relembrando: O teorema dizia que se as derivadas parciais forem contínuas então as derivadas cruzadas/mistas são iguais. Exemplo:
(c) E de brinde o enunciado ainda pede para refazer o nosso raciocínio da primeira alternativa com três variáveis!
Basicamente vamos rever o caso e tentar achar outra fórmula geral!
Passo 2
(a) Se a função tem duas variáveis, então em cada diferenciação temos duas escolhas de variável!
Então se temos uma derivada de ordem , temos escolhas de variáveis! Logo existem derivadas de -ésima ordem possíveis
Passo 3
(b) Agora, se essas derivadas são contínuas, pelo teorema de Clairaut a ordem de escolha não importa, por exemplo:
Assim, todas as derivadas de -ésima ordem que são derivadas vezes em relação a e vezes em relação a são iguais.
Então, já que pode variar entre e , teremos derivadas distintas.
Passo 4
(c) Usando o mesmo raciocínio do item (a), agora teremos três escolhas possíveis de variável a cada diferenciação, o que nos dá derivadas de -ésima ordem possíveis.
Resposta
(a)
(b)
(c)