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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 8

8. Seja f (x , y) = {[[(x y (x^2 - y^2))/(x^2 + y^2) s e (x , y) != (0,0)],[0 s e (x , y) = (0,0)]]) . Calcule (del^2 f)/(del x del y) (0,0) e (del^2 f)/(del y del x) (0,0) .

Passo 1

Primeiramente vamos calcular (del^(2 f))/(del x del y) (0,0) .

Lembrando que (del^(2 f))/(del x del y) (x , y) = (del)/(del x) ((del f)/(del y)) (x , y) .

Vamos calcular primeiro a derivada primeira de f para (x , y) != (0,0) , (del f)/(del y) ( x , y ) .

Como é uma função muito grande, vamos dividí-la em partes mudando variáveis para não nos perdermos e já calcular suas respectivas derivadas.

u = x y e (del u)/(del y) = x

v = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) e, pela regra do quociente,

(del v)/(del y) = ((del (x^2 - y^2))/(del y) (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) (del (x^2 + y^2))/(del y))/((x^2 + y^2)^2)

(del v)/(del y) = (( - 2 y ) (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) ( 2 y ))/((x^2 + y^2)^2)

(del v)/(del y) = (- 2 x^2 y - 2 y^3 - 2 x^2 y + 2 y^3)/((x^2 + y^2)^2)

(del v)/(del y) = (- 4 x^2 y)/((x^2 + y^2)^2) .

Ficamos com

f = u v e (del f)/(del y) = (del u)/(del y) v + u (del v)/(del y) .

Substituindo,

(del f)/(del y) = x ((x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)) + x y ((- 4 x^2 y)/((x^2 + y^2)^2))

(del f)/(del y) = x ((x^2 - y^2)/((x^2 + y^2)^2)) ( x^2 + y^2 ) + x y ((- 4 x^2 y)/((x^2 + y^2)^2))

(del f)/(del y) = ((x^5 - x y^4)/((x^2 + y^2)^2)) + ((- 4 x^3 y^2)/((x^2 + y^2)^2)) .

Note que se só substituirmos o ponto ( 0,0 ) na equação para acharmos (del f)/(del y) (0,0) , encontramos a indeterminação “ 0 // 0 ”. Usaremos então:

(del f)/(del y) (0,0) = underset(y -> 0)(lim) (f (0 , y) - f (0,0))/(y - 0) = 0

Agora que definimos a função encontrada na primeira derivação, vamos chama-la de m .

(del f)/(del y) (x , y) = m (x , y) = {[[(x^5 - x y^4 - 4 x^3 y^2)/((x^2 + y^2)^2) s e (x , y) != (0,0)],[0 s e (x , y) = (0,0)]])

Vamos calcular, agora

(del)/(del x) ((del f)/(del y)) (0,0) = (del m)/(del x) ( 0,0 )

(del m)/(del x) (0,0) = underset(x -> 0)(lim) (m (x , 0) - m (0,0))/(x - 0) = underset(x -> 0)(lim) ((x^5)/(x^4))/(x) = 1

(del^2 f)/(del x del y) (0,0) = 1 .

Passo 2

Vamos calcular, agora, (del^2 f)/(del y del x) (0,0) .

Lembrando que (del^(2 f))/(del x del y) (x , y) = (del)/(del x) ((del f)/(del y)) (x , y) .

Vamos calcular primeiro a derivada primeira de f para (x , y) != (0,0) , (del f)/(del x) ( x , y ) .

Mudando as variáveis e calculando suas respectivas derivadas.

u = x y e (del u)/(del x) = y

v = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) e, pela regra do quociente,

(del v)/(del x) = ((del (x^2 - y^2))/(del x) (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) (del (x^2 + y^2))/(del x))/((x^2 + y^2)^2)

(del v)/(del x) = (( 2 x ) (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) ( 2 x ))/((x^2 + y^2)^2)

(del v)/(del x) = (2 x^3 + 2 x y^2 - 2 x^3 + 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2)

(del v)/(del x) = (4 x y^2)/((x^2 + y^2)^2) .

Ficamos com

f = u v e (del f)/(del y) = (del u)/(del y) v + u (del v)/(del y) .

Substituindo,

(del f)/(del x) = y ((x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)) + x y ((4 x y^2)/((x^2 + y^2)^2))

(del f)/(del x) = y ((x^2 - y^2)/((x^2 + y^2)^2)) ( x^2 + y^2 ) + x y ((4 x y^2)/((x^2 + y^2)^2))

(del f)/(del x) = ((x^4 y - y^5)/((x^2 + y^2)^2)) + ((4 x^2 y^3)/((x^2 + y^2)^2)) .

Calculando (del f)/(del y) (0,0) :

(del f)/(del x) (0,0) = underset(x -> 0)(lim) (f (x , 0) - f (0,0))/(x - 0) = 0

Agora que definimos a função encontrada na primeira derivação, vamos chama-la de n .

(del f)/(del x) (x , y) = n (x , y) = {[[(x^4 y - y^5 + 4 x^2 y^3)/((x^2 + y^2)^2) s e (x , y) != (0,0)],[0 s e (x , y) = (0,0)]])

Vamos calcular, agora

(del)/(del y) ((del f)/(del x)) (0,0) = (del n)/(del y) ( 0,0 )

(del n)/(del y) (0,0) = underset(y -> 0)(lim) (n (0 , y) - n (0,0))/(y - 0) = underset(y -> 0)(lim) (- (y^5)/(y^4))/(y) = - 1

(del^2 f)/(del y del x) (0,0) = - 1 .

Resposta

(del^2 f)/(del x del y) (0,0) = 1 e (del^2 f)/(del y del x) (0,0) = - 1 .

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