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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 1

Encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u , nos seguintes casos:

f x , y = 4 - x 2 - y 2 , P 0 = 0,1 , u = ( 2,2 )

Passo 1

Bom galera, a questão quer que a gente encontre a derivada direcional, isso é a derivada em um ponto e uma certa direção, pra isso basta gente seguir a formulinha:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u →

Ou seja, é o produto escalar do vetor gradiente no ponto P 0 com o vetor unitário u .

Passo 2

Belezinha, para que a o vetor se torne unitário (já que o nosso não é), vamos dividir ele pelo módulo dele:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u

Passo 3

Show de bolinhas, agora vamos calcular o vetor gradiente, pra isso pegamos as derivadas parciais.

Temos que usar a regra da cadeia nela:

∂ f ∂ x u = ∂ f ∂ x u ⋅ ∂ f ∂ x u

Onde u = 4 - x 2 - y 2

= 1 2 u ⋅ - 2 x = - x 4 - x 2 - y 2

Fazemos o mesmo na outra derivada parcial e encontramos:

∂ f ∂ y = - y 4 - x 2 - y 2

Passo 4

Então calculamos as derivadas parcias no ponto P 0 = ( 0,1 ) , vamos lá:

∂ f ∂ x 0,1 = - 0 4 - 0 2 - 1 2 = 0

∂ f ∂ y 0,1 = - 1 4 - 0 2 - 1 2 = - 1 3

Logo, o nosso vetor gradiente em P 0 é:

∇ f P 0 = 0 ,   - 1 3

Passo 5

Por fim, aplicamos aquela formulinha:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u →

→ ∂ f ∂ u P 0 = 0 ,   - 1 3 ⋅ 2,2 2 2 + 2 2

= 0 ,   - 1 3 ⋅ ( 2,2 ) 8 = 0 ,   - 1 3 ⋅ ( 2,2 ) 2 2

= 0 ,   - 1 3 ⋅ 1 , 1 2 = 0 ,   - 1 3 ⋅ 1 2 ,   1 2

Aí só calculamos o produto escalar, bem assim:

= 0 ⋅ 1 2 + - 1 3 ⋅ 1 2

= - 1 6 = - 6 6

Pronto pessoal. 😊

Resposta

- 6 6

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Determine a derivada direcional de f ( x , y ) = x . y em P 2,8 na direção de Q 5,4 .