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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 4

Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t

z = x ln ⁡ x + 2 y ,         x = s e n   t ,       y = cos ⁡ t

Passo 1

Fala galerinha. De boa?

A questão nos pede para determinarmos d z d t ou d w d t pela Regra da Cadeia. Segundo o enunciado

d f d x ​ = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

Vale lembrar que também iremos utilizar a Regra do Produto devido a função ser uma multiplicação entre dois termos.

v x ∙ u x = u ' x ⋅ v + u x ⋅ v ' x

Iremos substituir os termos x = s e n   t ,       y = cos ⁡ t na função e realizar a derivada.

Vamos começar!

Passo 2

Poderíamos fazer de três formas, já substituindo os valores de x e y dentro de z , ou deixar implícito que x e y dependem de t pela regra da cadeia ao derivar z , ou usar a regra da cadeia explicada nessa seção. Porém vou ser rebelde e vou fazer nessa questão uma forma de fazer essa derivada de modo convencional.

Fazendo a derivada de t em z pela Regra do Produto nós teremos:

v x ∙ u x = u ' x ⋅ v + u x ⋅ v ' x

u = x

u ' = d ( x ) d t

v = ln ⁡ x + 2 y

v ' = d d x ( ln ⁡ x + 2 y )

Substituindo

d z d t = d ( x ) d t ∙ ln ⁡ x + 2 y + x ∙ d d t ln ⁡ x + 2 y

Pela regra da Cadeia

d d t ln ⁡ x + 2 y = 1 x + 2 y ∙ d d t x + 2 y

Substituindo na equação originnal

d z d t = d x d t ∙ ln ⁡ x + 2 y + x ∙ 1 x + 2 y ∙ d x d t + 2 d y d t

Passo 3

De acordo com a questão

x = s e n   t ,       y = cos ⁡ t

Vamos calcular as derivadas e coloca-las na equação que descobrimos no Passo anterior.

d x d t = cos ⁡ t

d y d t = - s e n   t

Logo:

d z d t = cos ⁡ t ∙ ln ⁡ x + 2 y + x x + 2 y ∙ cos ⁡ t - 2 s e n   t

d z d t = cos ⁡ t ∙ ln ⁡ x + 2 y + x cos ⁡ t x + 2 y - 2 x sen ⁡ t x + 2 y

Arrumando um pouco nós teremos:

d z d t = ln ⁡ x + 2 y + x x + 2 y cos ⁡ t - 2 x x + 2 y s e n   t

Já que x e y dependem de t , logo z está em função de t também.

Essa forma é uma outra forma de fazer sem precisar fazer arvore de derivada. Utilizando regras que já conhecemos de outras seções. (porém em funções mais complexas a arvore quebra um galhão).

Resposta

d z d t = ln ⁡ x + 2 y + x x + 2 y cos ⁡ t - 2 x x + 2 y s e n   t

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Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = y e x + x e y , x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t .
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = (x^2 + y^2) ln sqrt(x^2 + y^2) , x = e^t , y = e^(- t) .
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) determinando a função z (u , v) :z = x^2 + y^2 , x = u * sin v , y = v * cos u
Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 , x = e t , y = e - t .
Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função f x , y não é diferenciavel.Considera a função f x , y = x y 2 x 2 + y 2, x , y ≠ ( 0,0 ) 0, x , y = 0,0 Mostre