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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 1e

Verificar a regra da cadeia

(d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t)

Para a função

f (x , y) = l n x y

x = 2 t^2

y = t^2 + 2

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y = f (x) e x = h ( t ) tem se

(d y)/(d t) = (d f (x))/(d x) . (d x)/(d t)

Se ambas f e h forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z = f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g (t) e y = h (t) diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

(d f (x , y))/(d t) = (del f (x , y))/(del x) . (d x ( t_0 ))/(d t) + (del f (x , y))/(del y) . (d y (t_0))/(d t)

(del f (x , y))/(del x) = (1)/(x)

(del f (x , y))/(del y) = (1)/(y)

(d x ( t ))/(d t) = 4 t

(d y (t))/(d t) = 2 t

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

(d f (x , y))/(d t) = (1)/(x) xx 4 t + (1)/(y) xx 2 t =

Deixando tudo numa só variável (t)

= = (1)/(x) xx 4 t + (1)/(y) xx 2 t = (1)/(2 t^2) 4 t + (1)/(t^2 + 2) 2 t = (4 t^2 + 4)/(t^3 + 2 t)

Resposta

(4 t^2 + 4)/(t^3 + 2 t) ; t != 0

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1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .5. w = x e y z ,x = t 2 ,y = 1 - t ,z = 1 + 2 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .6. w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ² ,x = s e nt ,y = cos ⁡ t ,z = tan ⁡ t ²
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .2. z = x - y x + 2 y ,x = e π t ,y = e - π t
21-26. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas .21. z = x 4 + x 2 y ,x = s + 2 t - u ,y = s t u 2 ; ∂ z ∂ s ;∂ z ∂ t ;∂ z ∂ u ,q u a n d os = 4 ,t = 2 ,u = 1
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .12. z = tan ⁡ u v ,u = 2 s + 3 t ,v = 3 s - 2 t