Determinar dz / dt, usando a regra da cadeia

z = t * g(x^2 + y), x = 2t, y = t^2

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y = f (x) e x = h ( t ) tem se

(d y)/(d t) = (d f (x))/(d x) . (d x)/(d t)

Se ambas f e h forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z = f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g (t) e y = h (t) diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

(d f (x , y))/(d t) = (del f (x , y))/(del x) . (d x ( t_0 ))/(d t) + (del f (x , y))/(del y) . (d y (t_0))/(d t)

(del f (x , y))/(del x) = 2 x s e c^2 ( x^2 + y )

(del f (x , y))/(del y) = s e c^2 ( x^2 + y )

(d x ( t ))/(d t) = 2

(d y (t))/(d t) = 2 t

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

(d f (x , y))/(d t) = 2 x s e c^2 ( x^2 + y ) xx 2 + s e c^2 ( x^2 + y ) xx 2 t =

= s e c^2 ( x^2 + y ) ( 4 x + 2 t )

Deixando tudo numa só variável (t)

= ( sec^2 ( 5 t^2 ) ) ( 10 t )

Resposta

( sec^2 ( 5 t^2 ) ) ( 10 t )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t .1. z = x * y^3 - x^2 * y, x = t^2 + 1, y = t^2 - 1
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar dZ / dT ou d w / d t .4. z = raiz(1 + xy), x = tan(t), y = arctan(t)
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .10. z = x e x y ,x = 1 + s t ,y = s 2 - t ² ²
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 1,8 c m s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 2,5 c m s . Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 120
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂z / ∂s e ∂z / ∂t .7. z = (x - y)^5, x = s^2 t, y = s t² ²