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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 76

80. A temperatura em um ponto x ,   y de uma chapa de metal é dada por T x ,   y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,   2 (a) com relação a x e (b)-com relação a y .

Passo 1

Fala ai pessoal. De boa?

Vamos entender o objetivo da questão através de um breve resumo. Se liga ai! 😉

A questão pede para determinar a taxa de variação de temperatura T ( x , y ) em um ponto específico (1,2) de uma chapa de metal. A temperatura é dada pela função:

T x , y = 60 1 + x 2 + y 2

A taxa de variação deve ser calculada através da relação à variável x e com relação à variável y .

Como podemos resolver esta questão? Que tal seguirmos os seguintes passos?

  1. Calcular as derivadas parciais T x ( x , y ) e T y ( x , y ) .
  2. Avaliar no ponto específico ( 1,2 ) .

Prontinho. Mãos a obra! 😊

Passo 2

  1. Taxa de variação nada mais é do que derivada! Então se queremos a taxa de variação da Temperatura T com relação a x , basta calcular...

    2. T x = ∂ T ∂ x

    LEMBRE-SE: você deve considerar a outra variável (no caso y ) como uma constante, veja:

    T x ,   y = 60 1 + x 2 + y 2

    T x = ∂ ∂ x 60 1 + x 2 + y 2

    Aplicando a derivada usando a regra da derivada de fração...

    u = 6 0

    u ' = 0

    v = 1 + x 2 + y 2

    v ' = 2 x

    Substituindo os termos

    T x = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

    T x = 0 ⋅ 1 + x 2 + y 2 - 60 ⋅ 2 x ​ 1 + x 2 + y 2 2

    T x = - 60 ⋅ 2 x ​ 1 + x 2 + y 2 2

    T x = - 120 x ​ 1 + x 2 + y ² 2

    Passo 3

    Vamos substituir o ponto ( 1,2 ) em T x

    T x = - 120 ∙ 1 ​ 1 + 1 2 + 2 2 2

    T x = - 120 ​ 1 + 1 + 4 2

    T x = - 120 ​ 6 2

    T x = - 120 ​ 36

    T x = - 3,33 ° C / m

    Passo 4

  2. Agora vamos fazer cálculos me semelhantes, mas dessa vez buscando T y ...

T y = ∂ T ∂ y

LEMBRE-SE: você deve considerar a outra variável (no caso x ) como uma constante, veja:

T x ,   y = 60 1 + x 2 + y 2

T y = ∂ ∂ y 60 1 + x 2 + y 2

Aplicando a derivada usando a regra da derivada de fração...

u = 6 0

u ' = 0

v = 1 + x 2 + y 2

v ' = 2 y

Substituindo os termos

T x = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

T x = 0 ⋅ 1 + x 2 + y 2 - 60 ⋅ 2 y ​ 1 + x 2 + y 2 2

T x = - 60 ⋅ 2 y ​ 1 + x 2 + y 2 2

T x = - 120 y ​ 1 + x 2 + y ² 2

Passo 3

Vamos substituir o ponto ( 1,2 ) em T y

T y = - 120 ∙ 2 ​ 1 + 1 2 + 2 2 2

T y = - 24 0 ​ 1 + 1 + 4 2

T y = - 24 0 ​ 6 2

T y = - 24 0 ​ 36

T y = - 6,6 7 ° / m

Resposta

T x ( 1,2 ) = 3,33   ° C / m

T y ( 1,2 ) = 6,67   ° C / m

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