Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L

d P P = α d L L → P = C 1 ∙ L α A função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α

Enunciado

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais galera, vamos lá!

A questão joga muita informação pra gente então vamos primeiro dar nomes aos bois:

A função produção de Cobb-Douglas é

E ela tenta modelar a Produção () em função do Trabalho () e do Capital (), ou seja, uma função de duas variáveis!

E ele nos pede para provar que

Usando a equação diferencial

Mas se atente nisso:

Em o valor de está FIXO em , igualzinho o que fazemos para encontrar uma derivada parcial, né?

Então vamos reescrever nossas informações e resolver a equação diferencial proposta para chegar na nossa prova!

A função produção é

Ou ainda, deixando num formato mais familiar...

E se fixarmos o valor de em ?

Onde o termo entre parênteses é uma constante que depende de ... Bem parecido com , não é mesmo?

Mas temos que demonstrar isso usando a equação diferencial, então:

Nós temos

E queremos provar que a função possui o formato

Dessa forma podemos fazer a seguinte operação para extrair dessa derivada

Integrando dos dois lados nós temos

Ou ainda

Juntando as constantes de integração em uma só, temos

E se chamarmos podemos fazer o seguinte

Ou ainda, pelas propriedades dos logaritmos

Ou seja: Demonstramos, usando a derivada parcial dada, que a função produção do nosso mano Cobb-Douglas satisfaz

A função produção de Cobb-Douglas satisfaz