Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 75
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz resolvendo a equação diferencial
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais galera, vamos lá!
A questão joga muita informação pra gente então vamos primeiro dar nomes aos bois:
A função produção de Cobb-Douglas é
E ela tenta modelar a Produção () em função do Trabalho () e do Capital (), ou seja, uma função de duas variáveis!
E ele nos pede para provar que
Usando a equação diferencial
Mas se atente nisso:
Em o valor de está FIXO em , igualzinho o que fazemos para encontrar uma derivada parcial, né?
Então vamos reescrever nossas informações e resolver a equação diferencial proposta para chegar na nossa prova!
Passo 2
A função produção é
Ou ainda, deixando num formato mais familiar...
E se fixarmos o valor de em ?
Onde o termo entre parênteses é uma constante que depende de ... Bem parecido com , não é mesmo?
Mas temos que demonstrar isso usando a equação diferencial, então:
Nós temos
E queremos provar que a função possui o formato
Dessa forma podemos fazer a seguinte operação para extrair dessa derivada
Integrando dos dois lados nós temos
Ou ainda
Juntando as constantes de integração em uma só, temos
E se chamarmos podemos fazer o seguinte
Ou ainda, pelas propriedades dos logaritmos
Ou seja: Demonstramos, usando a derivada parcial dada, que a função produção do nosso mano Cobb-Douglas satisfaz
Resposta
A função produção de Cobb-Douglas satisfaz