Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P(L, K_0) = C_1 (K_0) L^α resolvendo a equação diferencial

dP / dL = α * (P / L)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais galera, vamos lá!

A questão joga muita informação pra gente então vamos primeiro dar nomes aos bois:

A função produção de Cobb-Douglas é

P L , K = b L α K β

E ela tenta modelar a Produção ( P ) em função do Trabalho ( L ) e do Capital ( K ), ou seja, uma função P ( L , K ) de duas variáveis!

E ele nos pede para provar que

P L , K 0 = C 1 K 0 L α

Usando a equação diferencial

d P d L = α P L

Mas se atente nisso:

Em P L , K 0 o valor de K está FIXO em K 0 , igualzinho o que fazemos para encontrar uma derivada parcial, né?

Então vamos reescrever nossas informações e resolver a equação diferencial proposta para chegar na nossa prova!

Passo 2

A função produção é

P L , K = b L α K β

Ou ainda, deixando num formato mais familiar...

P L , K = b K β L α

E se fixarmos o valor de K em K 0 ?

P L , K 0 = ( b K 0 β ) L α

Onde o termo entre parênteses é uma constante que depende de K 0 ... Bem parecido com C 1 K 0 , não é mesmo?

Mas temos que demonstrar isso usando a equação diferencial, então:

Nós temos

d P d L = α P L

E queremos provar que a função P possui o formato C 1 L α

Dessa forma podemos fazer a seguinte operação para extrair P dessa derivada

d P P = α d L L

Integrando dos dois lados nós temos

∫ d P P = α ∫ d L L

Ou ainda

ln ⁡ P + C p = α ∙ ln ⁡ L + C l

Juntando as constantes de integração em uma só, temos

ln ⁡ P = α ∙ ln ⁡ L + C

E se chamarmos C = l n ⁡ ( C 1 ) podemos fazer o seguinte

ln ⁡ P = α ∙ ln ⁡ L + l n ⁡ ( C 1 )

Ou ainda, pelas propriedades dos logaritmos

ln ⁡ P = ln ⁡ L α ∙ C 1

P = C 1 ∙ L α

Ou seja: Demonstramos, usando a derivada parcial dada, que a função produção do nosso mano Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α

Resposta

d P P = α d L L → P = C 1 ∙ L α

A função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α

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