Calcule as integrais iteradas.

4.

∫ 0 1 ∫ x 2 - x ( x 2 - y ) d y   d x

Passo 1

Fala, gente!

A questão pede pra gente calcular essa integral dupla, de dentro pra fora, ou seja, primeiro em d y e depois d x . Show, né?

Vamos começar trabalhando com a integral de dentro, vou te mostrar:

∫ 0 1 ∫ x 2 - x x 2 - y d y   d x

Passo 2

Fazendo a mágica acontecer!

∫ x 2 - x x 2 - y d y

x 2 y - y 2 2 x 2 - x

Substituindo pelos limites de integração:

x 2 2 - x - 1 2 2 - x 2 - x 2 x + 1 2 x 2

Organizando os termos, teremos

- 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x - 2

Passo 3

Agora, é só resolver em relação a x :

∫ 0 1 - 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x - 2   d x

- 1 2 x 4 + 2 3 x 3 + x 2 - 2 x 0 1

- 1 2 1 4 + 2 3 1 3 + 1 2 - 2 ⋅ 1 - - 1 2 0 4 + 2 3 0 3 + 0 2 - 2 ⋅ 0

- 1 2 + 2 3 + 1 - 2 = - 5 6

Moleza, né? 😉

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 2 - x ( x 2 - y ) d y   d x = - 5 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados