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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 4

Calcule as integrais iteradas.

4.

∫ 0 1 ∫ x 2 - x ( x 2 - y ) d y   d x

Passo 1

Fala, gente!

A questão pede pra gente calcular essa integral dupla, de dentro pra fora, ou seja, primeiro em d y e depois d x . Show, né?

Vamos começar trabalhando com a integral de dentro, vou te mostrar:

∫ 0 1 ∫ x 2 - x x 2 - y d y   d x

Passo 2

Fazendo a mágica acontecer!

∫ x 2 - x x 2 - y d y

x 2 y - y 2 2 x 2 - x

Substituindo pelos limites de integração:

x 2 2 - x - 1 2 2 - x 2 - x 2 x + 1 2 x 2

Organizando os termos, teremos

- 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x - 2

Passo 3

Agora, é só resolver em relação a x :

∫ 0 1 - 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x - 2   d x

- 1 2 x 4 + 2 3 x 3 + x 2 - 2 x 0 1

- 1 2 1 4 + 2 3 1 3 + 1 2 - 2 ⋅ 1 - - 1 2 0 4 + 2 3 0 3 + 0 2 - 2 ⋅ 0

- 1 2 + 2 3 + 1 - 2 = - 5 6

Moleza, né? 😉

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 2 - x ( x 2 - y ) d y   d x = - 5 6

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Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^v sqrt(1 - v^2) d u d v
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D4 y x 3 + 2 d A, D = x ,y1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 x }
Calcule a integral dupla.∬_D^() x sqrt(y^2 - x^2) d A , D = {(x , y)| 0 = y = 1 , 0 = x = y }
Calcule a integral dupla.∬_D^() y^2 e^(x y) d A , D = {(x , y)| 0 = y = 4 , 0 = x = y }