Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 30
Use uma série de potências para aproximar a integral definida com a precisão de seis casas decimais.
30.
Passo 1
E aí, gente bonita!
A questão nos deu uma integral e quer que resolvemos transformando ela numa série de potências, show?
Também diz que o resultado deve ter uma precisão de seis casas decimais, então, já que o erro deve ser menor ou igual ao terceiro termo, iremos calcular a soma de, pelo menos, dois primeiros termos. Belezinha?
Mão na massa! 😉
Passo 2
Sabemos que a função com , pode ser representada como uma série de potências de forma que
Nos valendo dessa informação vamos manipular o integrando do exercício para que ele fique análogo à função f(x) e possa ser igualado à uma série, conforme o modelo acima:
Substituindo a série obtida acima dentro da integral, teremos
Se integrarmos a série termo a termo obtemos
Tomando e substituindo os limites de integração chegamos à seguinte soma infinita:
Passo 3
A série alternada acima pode ser aproximada de uma soma finita.
Se aproximarmos o valor da série pela soma dos dois primeiros termos, o erro de aproximação será, no máximo, igual ao valor absoluto do terceiro termo:
Dessa forma, temos como resultado: