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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 29c

Dizemos que ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico do estacionário de z = f ( x , y ) se ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0 . Determine (caso existam) os pontos críticos da função

f x , y = x 2 - 2 x y + 3 y 2 + x - y

Passo 1

O enunciado nos dá uma funç��o de duas variáveis e nos pede para determinar os pontos críticos da mesma, ou seja, os pontos x 0 , y 0 onde esta função fornece ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 .

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos f x , y = x 2 - 2 x y + 3 y 2 + x - y . Assim, calculando as derivadas parciais e forçando ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0 , obtemos o sistema

∂ ∂ x f x , y = 2 x - 2 y + 1 = 0 ∂ ∂ y f x , y = - 2 x + 6 y - 1 = 0

Somando as equações, obtemos 4 y = 0 , ou seja, y 0 = 0 .

Resolvendo o sisteminha linear, o único ponto crítico encontrado está em:

x 0 = - 1 2 y 0 = 0

Resposta

x 0 , y 0 = - 1 2 , 0

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