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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 1c

Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .

c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 , x = s e n ( 3 t ) , y = c o s ( 3 t )

Passo 1

Bora lá, galera, vamos calcular essa derivada das duas formas. A primeira que ele mostrou pra gente é substituindo o x e o y direto na expressão de z , e depois derivar em t , assim:

z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Substituindo,

z = ln ⁡ 1 + s e n 2 3 t + cos 2 ⁡ 3 t

Mas pela relação fundamental:

z = ln ⁡ 1 + 1

z = ln ⁡ 2

Que é constante, e então sua derivada vai dar 0 .

d d z = d d t ln ⁡ 2 = 0

Passo 2

Beleza, agora vamos pro outro método, o da regra da cadeia direto! A expressão dela é assim:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t  

Vamos calcular cada parcelinha separado! Primeiro as derivadas parciais:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 1 1 + x 2 + y 2 ( 2 x )

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 1 1 + x 2 + y 2 ( 2 y )

Agora as derivadas “normais”:

d x d t = d d t s e n ( 3 t ) = 3 c o s ( 3 t )

d y d t = d d t c o s 3 t = - 3 s e n ( 3 t )

Juntando tudo na expressão da regra da cadeia:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

d z d t = 1 1 + x 2 + y 2 2 x 3 c o s 3 t + 1 1 + x 2 + y 2 2 y - 3 s e n 3 t

Arrumando,

d z d t = 6 x c o s 3 t - 6 y s e n 3 t 1 + x 2 + y 2

Substituindo x e y pelas expressões em t :

d z d t = 6 s e n ( 3 t ) c o s 3 t - 6 c o s ( 3 t ) s e n 3 t 1 + x 2 + y 2

E fazendo a subtração no numerador:

d z d t = 0

Como já tínhamos calculado!

Resposta

d z d t = 0

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Supondo que as funções diferenciáveis y = f ( x ) e z = z x ,z0 , sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas d y d x e d z d x .a) x 2 + y 2 + z 2 = 4 x + y + z = 2
Determinar as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definidas implicitamente pelo sistema dado:b) x + u - v = 3 y - 3 u v + v 2 = 0
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Supondo que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam definidas implicitamente pelo sistema x 2 + y 2 = z x + y = 4 Determinara) d y d x e d z d x .