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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 50

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

50. x 2 - 2 x 3 + 2 2 x 4 2 !   - 2 3 x 5 3 ! + 2 4 x 6 4 !   -   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Bora lá!

Temos que encontrar a série que corresponde ao que foi dado no enunciado para depois obter a soma. Antes disso, temos que notar que

x 2 - 2 x 3 + 2 2 x 4 2 !   - 2 3 x 5 3 ! + 2 4 x 6 4 !   -   ⋅ ⋅ ⋅ =   x 2 1 - 2 x + 2 2 x 2 2 !   - 2 3 x 3 3 ! + 2 4 x 4 4 !   -   ⋅ ⋅ ⋅

x 2 - 2 x 3 + 2 2 x 4 2 !   - 2 3 x 5 3 ! + 2 4 x 6 4 !   -   ⋅ ⋅ ⋅ =   x 2 1 - 2 x + ( 2 x ) 2 2 !   - ( 2 x ) 3 3 ! + ( 2 x ) 4 4 !   -   ⋅ ⋅ ⋅

Hum, isso parece muito com uma função exponencial:

e x = ∑ n   =   0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + x n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Na verdade, se a gente trocar x por - 2 x na série da exponencial, ficamos com

e - 2 x = ∑ n   =   0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 x ) n n ! = 1 - 2 x + ( 2 x ) 2 2 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 x ) n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora, multiplicamos tudo isso por x 2 :

x 2 e - 2 x = x 2 ∑ n   =   0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 x ) n n ! = x 2 1 - 2 x + ( 2 x ) 2 2 ! -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( 2 x ) n n ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Ou seja, a soma da série do enunciado corresponde exatamente a x 2 e - 2 x . Muito legal, não é mesmo? Responde Aí!

Resposta

x 2 e - 2 x

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