Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 44

Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma de cada uma das séries.

44. 1 2 - 1 2   ⋅   2 2 + 1 3   ⋅   2 3 - 1 4   ⋅   2 4   +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 1

Fala, galera! Vamos lá para mais uma questão? Vamos!

Nós começamos identificando como é o termo geral da série

( - 1 ) n + 1 n ⋅   2 n = ( - 1 ) n + 1 n 1 2 n

Assim, fica fácil de identificar, na tabela 10.1, que essa é um logaritmo

l n ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

Passo 2

Se você ainda não está convencido que a série que queremos é da função logarítmica, então vamos fazer x = 1 / 2 nessa série:

l n ( 1 + 1 2 ) = 1 2 - ( 1 2 ) 2 2 + ( 1 2 ) 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( 1 2 ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅

l n ( 1 + 1 2 ) = 1 2 - 1 2 ⋅ 2 n + 1 3 ⋅ 2 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 1 n ⋅ 2 n +   ⋅ ⋅ ⋅

Agora ficou mais fácil de ver que o lado direito corresponde a série do enunciado. Então, para obter a soma desta série, só precisamos calcular

l n ( 1 + 1 2 ) = l n ( 3 2 ) ≈ 0,405

Resposta

l n ( 1 + 1 2 ) ≈ 0,405

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Encontre a série de Taylor de f centrada em 4 se f n 4 = - 1 n n ! 3 n n + 1 Qual é o raio de convergência da série de Taylor?
Demonstre que a série obtida no Exercício 7 representa sen ⁡ π x para todo x .
Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .]19. f x = 1 / x , a = 9
Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .] f x = e x , a = 3