Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais

b.

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y

Passo 1

Oii, estamos agora embarcando no mundo das integrais. Como você muito bem sabe, uma interpretação geométrica de integrais é o cálculo de áreas. Assim os intervalos de integração nos dizem que região do Plano estamos. E olha que bacana. Não importa a ordem de integração o valor final SEMPRE tem que ser o mesmo. Assim podemos ser bacana em algumas ocasiões nós manipularmos quais variáveis vamos integrar primeiro, pense sempre em poupar esforço!

Passo 2

No nosso caso temos

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y

Vamos começar pela intepretação mais fácil. Y varia da curva y = 0 ate a curva y = 1 . Então sabemos que y esta entre a seguinte região

Agora temos que ver x, porque x varia da curva - 1 - y 2 ate a curva 1 - y . Então podemos concluir que a região é

A região central, interseção das 4 curvas. Agora temos que inverter a região, podemos então fazer x variar entre - 1,1 . O problema é y, pois temos que y começa com a reta y = 0 e ao longo da região toda y é limitado superiormente por 2 curvas diferentes. E chegamos a conclusão que Não temos como fazer.

A solução é repartir essa integral em 2. Com x variando entre - 1,0   e 0,1 assim conseguimos colar apenas uma função limitando y superiormente. Sendo que agora as curvas têm que ser funções de x. Vamos inverter essas funções

x = - 1 - y 2  

x 2 = 1 - y 2

x 2 + y 2 = 1

y = 1 - x 2

Como queremos o segundo quadrante temos que optar pela raiz positiva. Agora o outro limite de y

x = 1 - y

y = 1 - x

Com isso nossa integral fica

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y =   ∫ - 1 0 ∫ 0 1 - x 2 f x , y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x f x , y d y d x

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y =   ∫ - 1 0 ∫ 0 1 - x 2 f x , y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x f x , y d y d x

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