Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 1a
Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais
a.
Passo 1
Oii, estamos agora embarcando no mundo das integrais. Como você muito bem sabe, uma interpretação geométrica de integrais é o cálculo de áreas. Assim os intervalos de integração nos dizem que região do Plano estamos. E olha que bacana. Não importa a ordem de integração o valor final SEMPRE tem que ser o mesmo. Assim podemos ser bacana em algumas ocasiões nós manipularmos quais variáveis vamos integrar primeiro, pense sempre em poupar esforço!
Passo 2
No nosso caso temos
Vamos começar pela intepretação mais fácil. X varia da curva ate a curva . Então sabemos que x esta entre a seguinte região
Agora temos que ver y, porque x varia da curva ate a curva . Então podemos concluir que a região é
A região central, interseção das 4 curvas. Agora temos que inverter a região. Temos que ter ciência de que lemos a região da seguinte maneira. Y começa de baixo para cima e X da esquerda para a direita. Entao podemos fazer o seguinte
E agora temos que inverter as função de y(x), começando pelo limite inferior
E agora o limite superior
Com isso nossa integral fica
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )