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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 7

A altura de um cone é h = 20   c m e o raio da base r = 12   c m . Calcule um valor aproximado para a variação Δ V no volume quando h aumenta 2   m m e r decresce 1   m m .

Passo 1

Primeiramente, precisamos saber a fórmula do volume do cone

V = π r 2 h 3

Para calcular a aproximação, vamos encontrar a diferencial

d V = ∂ V ∂ r r , h   d r + ∂ V ∂ h r , h   d h

Calculando as derivadas

∂ V ∂ r r , h = 2 π r h 3

∂ V ∂ h r , h = π r 2 3

Substituindo

d V = 2 π r h 3   d r + π r 2 3   d h

Passo 2

Se h = 20   c m e r = 12   c m

d V = 160 π   d r + 48 π   d h

Aproximando então a variação do volume pela diferencial quando h aumenta 2   m m e r decresce 1   m m , ou seja, d r = - 0 , 1 e d h = 0 , 2 , temos então

Δ V ≈ 160 π - 0 , 1 + 48 π ( 0 , 2 )

Δ V ≈ - 6,4 π

Resposta

Δ V ≈ - 6,4 π

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