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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 3

Seja z = x + y 3 .

  1. Calcule a diferencial de z no ponto 1,8 .
  2. Calcule um valor aproximado para z , correspondente a x = 1,01 e y = 7,9 .
  3. Calcule um valor aproximado para a variação Δ z em z , quando se passa de x = 1 e y = 8 para x = 0,9 e y = 8,01 .

Passo 1

  1. Para encontramos a diferencial d z

    2. d z = z x x , y d x + z y ( x , y ) d y

    Precisamos calcular as derivadas parciais

    z x = 1 2 x

    z y = 1 3 y 2 3

    E a diferencial é

    d z = 1 2 x   d x + 1 3 y 2 3   d y

    No ponto 1,8

    d z = 1 2 1   d x + 1 3 8 2 3   d y

    d z = 1 2 d x + 1 12 d y

    Passo 2

  2. Para isso, calculamos a aproximação de Δ z por d z com x = 1 , y = 8 , d x = 0,01 e d y = - 0,1 .

    3. Δ z ≈ 1 2 0,01 + 1 12 - 0,1

    Δ z ≈ - 0,00333

    Precisamos então do valor de z em ( 1,8 ) , então somamos Δ z

    z 1,8 = 1 + 2 = 3

    E o valor que estamos buscando

    z ≈ 3 + Δ z

    z ≈ 2,99667

    Passo 3

  3. Como já temos o diferencial no ponto de origem, para aproximar Δ z precisamos apenas substituir d x = - 0,1 e d y = 0,01

Δ z ≈ 1 2 - 0,1 + 1 12 0,01

Δ z ≈ 0,049167

Resposta

  1. d z = 1 2 d x + 1 12 d y

  2. 2,99667

Δ z ≈ 0,049167

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