Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 11a
Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível da integral a seguir.
Passo 1
Como visto nos exercícios anteriores temos as seguintes relações
(i) Se é continua em para todo x em [a,b], então, segue que
(ii) Se é continua em para todo x em [a,b], então , segue que
A relação (i) nos permite calcular o menor valor da integral enquanto pela relação (ii) podemos calcular o seu valor máximo.
Mas para pra refletir quem são esses valores e como econtrá-los, lembra do teorema de Weierstrass ??
Vamos relembrá-lo...
Se f é uma função contínua num intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isso garante a existência de e no intervalo, de modo que
Para todo x do nosso intervalo.
Se integrarmos a desigualdade acima chegamos nas relações (i) e (ii).
Passo 2
Vamos analisar a função para
Temos que essa função é estritamente crescente, logo nesse intervalo seu valor máximo é:
E seu valor mínimo é:
Portanto, seja
Passo 3
Substituindo nas relações
Logo seu valor mínimo é 15 e o valor máximo é 20.
Resposta
Valor mínimo = 15
Valor máximo = 20