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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 72

Use multiplicação ou divisão de séries de potência para encontrar os três primeiros termos não nulos na série de Maclaurin para cada função.

y = e x sen 2 ⁡ x

Passo 1

E aai galerinha, tudo bem? Vamos lá!!!

Usando de multiplicação ou divisão de series de potência, devemos encontrar os três primeiros termos não nulos na serie de Maclaurin para cada função.

y = e x sen 2 ⁡ x

Vish! Como faço essa?

Vamos olhar para a expressão dada. Você concorda que posso escrever ela desse jeito:

y = e x sen ⁡ x sen ⁡ x

Agora vamos olhar para a tabela de séries de potências conhecidas, e ver se tem alguma que nos ajude.

Repare que temos uma série de potência para e x e para s e n   x , isso é muito bom pessoal, pois agora só precisamos fazer a multiplicação dos termos.

Vamos começar!!! Essa vamos tirar de letra ein!!

Passo 2

Bom, vamos relembrar nossa função que queremos encontrar os três primeiros termos da série de potência:

y = e x sen ⁡ x sen ⁡ x

Como vimos antes na t a b e l a   1 , conhecemos as seguintes s��ries de potência:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + …

s e n   x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - …

Agora precisamos fazer a multiplicação entre as series.

Vamos fazer por partes, primeiro para:

e x × sen ⁡ x

Como queremos apenas os três primeiros termos, podemos pegar apenas os três primeiros termos de cada série. Logo, vamos ter:

1 + x 1 ! + x 2 2 ! + … ×   x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + …

Fazendo a multiplicação estilo chuveirinho:

Vamos ter a seguinte resposta:

x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 2 - x 4 3 ! + x 6 5 ! + x 3 2 ! - x 5 2 ! 3 ! + x 7 2 ! 5 ! + …

Simplificando, vamos ter:

x + x 2 + x 3 3 - x 4 3 ! - 3 x 5 40 + x 6 120 + x 7 240 + …

Passo 3

Agora vamos precisar fazer a segunda parte da multiplicação, que é a resposta de:

e x sen ⁡ x × sen ⁡ x

Obtemos no passo anterior que:

e x sen ⁡ x = x + x 2 + x 3 3 - x 4 3 ! - 3 x 5 40 + x 6 120 + x 7 240 + …

E sabemos que:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - …

Agora vamos fazer a multiplicação. Novamente vamos pegar apenas os três primeiros termos de cada expressão, pois já é suficiente para obter os três primeiros termos não nulos. Logo temos:

e x sen ⁡ x × sen ⁡ x

x + x 2 + x 3 3 + … × x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - …

Fazendo a multiplicação chuveirinho, vamos ter:

x 2 - x 4 6 + x 6 120 + x 3 - x 5 6 + x 7 120 + x 4 3 - x 6 18 + x 8 360 + …

Simplificando a função e escrevendo os termos com grau menor ou igual a 4 , obtemos:

e x sen 2 ⁡ x = x 2 - 1 6 x 4 + x 3 + 1 3 x 4 + …

Sendo assim, simplificando a expressão e juntando os termos em comum, temos:

y = e x sen 2 ⁡ x = x 2 + x 3 + 1 6 x 4 + …

Resposta

y = e x sen 2 ⁡ x = x 2 + x 3 + 1 6 x 4 + …

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