Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 19

Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .

Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.

Verifique seu resultado na parte (b) traçando

19.

Passo 1

Oi, gente bonita! Tudo show?

Olha só, a questão nos deu uma função e quer, no item (a), uma aproximação dela por um polinômio de Taylor, com e (iremos fazer três integrais, show?).

A partir disso, no item (b) pedem pra gente usar uma desigualdade de Taylor e estimar a precisão da aproximação da função com o polinômio de Taylor no intervalo .

E no item (c), verificar o resultado de (b), traçando , que é básicamente .

Bora fazer essa questão com sangue nos olhos!

Passo 2

Primeiramente, no nosso item (a), para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é

Para precisaremos até a terceira derivada, então derivando e substituindo no centro

Então nosso polinômio é

Passo 3

Em (b), para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se , então

Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quarta derivada

Agora precisamos de um valor que seja maior que essa função em todo o intervalo , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de está crescente, então para pegarmos o maior valor da função, precisamos do maior valor do intervalo () e substituirmos, podemos dizer que