Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f(x) = x^2 * e^(-x)

Passo 1

E ai, pessoal! Beleza?

Bom, para resolvermos esta questão não precisamos desenvolver nenhuma série de Maclaurin em si. Basta voltarmos na seção do livro e adaptarmos as séries já desenvolvidas!

Portanto, vamos dividi-la em duas etapas:

  1. Determinar a série de Maclaurin para e - x (a partir da série de e x )
  2. Obter a representação final para nossa função

Passo 2

Pra encontrar a série de e - x , vamos começar relembrando qual a série para a função e x :

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema.

Percebam a diferença entre e x e e - x : se trocarmos x por - x na primeira expressão, obteremos a segunda. Pronto, esta é a ideia do que precisamos fazer. No lugar de x na série acima, vamos substituir por - x . Portanto,

e - x = ∑ n = 0 ∞ - x n n !

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n n !

Passo 3

Agora, vamos substituir a função e - x pela sua representação em série na função da questão. Logo,

f x = x 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n n !

E agora, basta multiplicarmos!

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n + 2 n !

Pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = x 2 e - x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n + 2 n !

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados