Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

23.

f(x) = cos(πx)

Passo 1

Fala, galera!

A questão pede pra gente usar uma série de Maclaurin já definida na seção 10   deste livro e quer obter uma série Maclaurin para a função que ele nos deu.

f x = cos ⁡ π x

Bom, para resolvermos esta questão não precisamos desenvolver nenhuma série de Maclaurin em si. Ufa!

Basta voltarmos na seção do livro e adaptarmos as séries já desenvolvidas!

Vamos começar relembrando qual a série para a função f x = cos ⁡ x . Temos então a seguinte série:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema. Moleza, né?

Passo 2

Percebam que a diferença entre cos ⁡ x e cos ⁡ π x .

Se fizermos x = π x na primeira equação, obteremos a segunda. Pronto, esta é a ideia do que precisamos fazer. No lugar de x na série acima, vamos substituir por π x . Portanto,

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n π x 2 n 2 n !

Podemos expandir essa base no numerador e seus expoentes:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n ⋅ x 2 n 2 n !

Pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = cos ⁡ π x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n ⋅ x 2 n 2 n !

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