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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 9

Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função f x , y não é diferenciavel.

Considera a função

f x , y = x y 2 x 2 + y 2   ,     x , y ≠ ( 0,0 ) 0   ,     x , y = 0,0

Mostre que:

a ) ∂ f ∂ x 0,0 = 0 e ∂ f ∂ y 0,0 = 0

b ) Se g t = a t , b t ,   a , b ≠ 0 , então f ∘ g é diferenciavel

Passo 1

Bom galera, vamos começar demonstrando que ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0 vamos usar a definição de derivada com o limite, isso porque no ponto ( 0,0 ) em si o valor é 0 e a função é descontinua, então vamos para o limite mesmo:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Agora aplicamos os valores que a gente tem na questão, ai ficamos com:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ x ( 0 ) 2 x 2 + ( 0 ) 2 - ( 0 ) x - 0

Agora calculamos isso:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x - 0 = 0

Demonstramos o primeiro. 😊

Passo 2

Belezinha, agora fazemos o mesmo para a derivada parcial de y :

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Aplicamos os valores da questão:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ ( 0 ) y 2 ( 0 ) 2 + y 2 - ( 0 ) y - 0

Calculando temos a segunda demonstração: 😊

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y - 0 = 0

Passo 3

Show de bolinhas, agora testamos se a função composta f ∘ g é diferencialvel, pra isso vamos calcular a derivada parcial, pra isso usaremos a regra da cadeia:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Agora colocamos os valores que temos:

∂ f ∂ t = 0 ⋅ ∂ a t ∂ t + 0 ⋅ b t

→ ∂ f ∂ t = 0 ⋅ a + 0 ⋅ b = 0

Então, como a gente pode encontrar a derivada no ponto e é continua, logo ela é diferenciavel.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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