Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função f x , y não é diferenciavel.Considera a função f x , y = x y 2 x 2 + y 2, x , y ≠ ( 0,0 ) 0, x , y = 0,0 Mostre que: a ) ∂ f ∂ x 0,0 = 0 e ∂ f ∂ y 0,0 = 0 b ) Se g t = a t , b t ,a , b ≠ 0 , então f ∘ g é diferenciavel

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 9

Este exercício nos dá um exemplo de que a regra da cadeia não se aplica quando a função não é diferenciavel.

Considera a função

Mostre que:

e

Se , então é diferenciavel

Passo 1

Bom galera, vamos começar demonstrando que e vamos usar a definição de derivada com o limite, isso porque no ponto em si o valor é e a função é descontinua, então vamos para o limite mesmo:

Agora aplicamos os valores que a gente tem na questão, ai ficamos com:

Agora calculamos isso:

Demonstramos o primeiro. 😊

Passo 2

Belezinha, agora fazemos o mesmo para a derivada parcial de :

Aplicamos os valores da questão:

Calculando temos a segunda demonstração: 😊

Passo 3

Show de bolinhas, agora testamos se a função composta é diferencialvel, pra isso vamos calcular a derivada parcial, pra isso usaremos a regra da cadeia:

Agora colocamos os valores que temos:

Então, como a gente pode encontrar a derivada no ponto e é continua, logo ela é diferenciavel.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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